Zusammenfassung Physik (c) 1999 F.M.Suchanek Dieses ist die Zusammenfassung des Leistungskurses Physik von Heinz Mueting an der Marienschule Lippstadt 1999. Da dieser Text ASCII-Graphiken enthaelt, sollte er ___ | nur mit einer Festschriftart (zB Courier New) benutzt / \ | / und ausgedruckt werden. Wenn die Schriftart in ( ) |< Ordnung ist, erscheint rechts ein OK. \___/ | \ Durch das Weiterlesen akzeptiert der Leser, dass der Autor keinerlei Verantwortung fuer die Richtigkeit oder Vollstaendigkeit dieser Zusammenfassung uebernimmt. CONST e 1.6021892E-19 C Elementarladung; CONST eps0 8.85418782E-12 A*s/V/m elektrische Feldkonstante; CONST g 9.80665 m/s^2 Normalfallbeschleunigung; CONST me 9.109534E-31 kg Ruhemasse Elektron; CONST pi 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456; CONST æ0 1.2566E-6 V*s/A/m magnetische Feldkonstante; CONST ø pi/180; #DEFINE = "ungefaehr gleich" VAR n:integer; FUNCTION INTEGRAL; FUNCTION SUM; FUNCTION LN; FUNCTION SQRT; FUNCTION SIN; FUNCTION COS; FUNCTION TAN; REM A Flaeche; REM c Wellengeschwindigkeit; REM d Abstand; REM f Frequenz; REM F Kraft; REM k Faktor; REM m Masse; REM P Leistung; REM Phi Potenzial; REM phi Phasenverschiebungswinkel; REM Q Ladung; REM r Radius; REM rho Materialkonstante; REM s Weg; REM t Zeit; REM T ganze Umlaufzeit; REM v Geschwindigkeit; REM W Arbeit; REM x,y,z Koordinaten; ------------------------------------------------------------------------------ E-M-FELD ------------------------------------------------------------------------------ Das Elektron ist der Traeger der kleinsten elektrischen Ladung: e = 1.6E-9 C; Strom ist das Fliessen von Elektronen in einer bestimmten Zeit: I = x * e / t; [I] = A; REM Der Strom ist proportional zur Geschwindigkeit der Elektronen; Spannung ist eine Potenzialdifferenz, sie bedeutet Verschiebungsarbeit von einem Potenzial zum anderen pro Ladung: U = Wel / q; im homogenen Feld: U = F/q*d; [U] = V; REM Spannung bedeutet Arbeitsvermoegen; Leistung ist Arbeit pro Zeit: P = Wel / t = U * I; [P] = W; Widerstand ist Spannung pro Strom: R = U / I; Er haengt vom Drahtmaterial (rho), dessen Laenge (s) und Querschnittsflaeche (A) ab: R = rho * s / A; Widerstaende in Reihe addieren sich. I(n) = Iges; Uges = SUM U(n); => Rges = SUM R(n); Bei parallel geschalteten Widerstaenden ist der Kehrwert des Gesamtwiderstandes gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstaende. Iges = SUM I(n); Uges = SUM U(n); => 1/Rges = SUM 1/R(n); Ein Feld heisst radialsymmetrisch, wenn die Feldlinien wie die Strahlen der Sonne liegen. Ein Feld heisst homogen, wenn alle Feldlinien parallel sind. Die Kapazitaet eines Kondensators ist das Verhaeltnis aus darauf passender Ladung zur Spannung: C = Q / U; [C] = C / V = F; (Farad[ay]); REM Kapazitaet ist Fassungsvermoegen; Die Kapazitaet eines Kondensators ist proportional zu seiner Flaeche und antiproportional zum Plattenabstand, die Proportionalkonstante ist die elektrische Feldkonstante: C = eps0*A/d; eps0 = 8,85418E-12 A*s/V/m; Die relative Di-Elektrizitaetszahl oder Permittivitaetszahl epsr ist vom Material innerhalb des Feldes abhaengig und muss in alle Terme mit eps0 als Faktor mit einfliessen; Parallel geschaltete Kapazitaeten addieren sich: U(1) = U(2)... ; Qges = SUM Q(n); => Cges = SUM C(n); Bei Kapazitaeten in Reihe ist der Kehrwert der Gesamtkapazitaet gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelkapazitaeten. Iges = SUM I(n); Uges = SUM U(n); => 1/Rges = SUM 1/R(n); Die elektrische Feldstaerke ist die elektrische Kraft pro Ladung: E = F/q; REM Feldstaerke ist die Kraft im Feld unabhaengig von der Probeladung; Die elektrische Flaechenladungsdichte oder elektrische Verschiebung ist Ladung pro Flaeche: D = Q/A; sie ist proportional zur Feldstaerke D = eps0*E; REM Flaechenladungsdichte ist von der Bedeutung aehnlich wie die Feldstaerke; Setzt man bei D = Q/A = eps0*E fuer A die Huellflaeche um eine Punktladung (Kugelform), so erhaelt man die Anziehungskraft von Probeladung und Punktladung: F = Q1*Q2 / (4*pi*eps0*r^2); (Coulomb-Gesetz) Die Ueberfuehrungsarbeit einer Probeladung von einem Abstand (ra) der Punktladung zu einem anderen (re) ist: W = INTEGRAL F(r)*dr (W=F*s, F wird mit wachsendem s geringer !) Setzt man fuer F(r) die Coulomkraft, so ergibt sich W = Q1*Q2 / (4*pi*eps0) * (1/ra-1/re); Das Potenzial ist Arbeit pro Ladung: phi = W/q; REM Das Potenzial ist das Verhaeltnis an einem Ort zu einer Ladung, unabhaengig von der Probeladung; Elektron im Kondensator ----(+)----- e- -----------------> d ----(-)----- s Bewegung in X-Richtung: sx(t) = vx*t; Bewegung in Y-Richtung: sy(t) = .5*a*t^2; F = m*a; F = q*E; a = e*E/m sy(t) = .5*e*E/m*t^2; E = U/d; sy(t) = .5*e*U/d/m*t^2; sx(t) = vx*t; t = sx/vx; sy(t) = .5*e*U/d/m* sx^2/vx^2; Geschwindigkeit: vx = v0; vy = a*t; a = e*U/m/d; t = sx/vx; vy = e*U/m/d*sx/vx; Winkel: alpha = atn(vy/vx); Ein Reed-Kontakt sind zwei Kontaktzungenin einem Glaskoerper, die sich Ueberlappen, aber einen Kontaktspalt haben. Kommt man mit einem magnetischen Feld in seine Naehe, so ziehen sich die Zungen an und ein Kontakt kommt zu Stande (Schnappcharakteristik). Ein Rechteckimpulsgenerator erzeugt mithilfe eines Reed-Kontaktes im Wechselstrom Rechecksimpulse: Rv=50O +----------+ O-----#####----+| | 5 V ~ \\ Spule | O \\ mit o | \\ Reed o Rechtecksimpuls +--------------+| | +----| ----+ Wechselstrom laesst Reed-Kontakt schnappen Die Entladung eines Kondensators erfolgt nach einer e-Funktion: Schaltet man einen Kondensator und einen Widerstand hintereinander, so gilt beim Entladen: (e ist Eulerische Zahl) Uc = Ur; Uc = Q/C; UR = R*I; Q/C = R*I; I = - dQ/Dt (nimmt ab); Q/C = -R * dQ/dt; (umstellen) dQ/Q = -dt / (R*C); INTEGRAL INTEGRAL von Q0 bis Q von dQ/Q = -1/R/C * INTEGRAL von t0 bis t von dt LN(Q) - LN(Q0) = -1/R/C * t; LN(Q/Q0) = -1/R/C * t; e^x; Q(t) = Q0*e^(-t/R/C); Tau:=R*C; Q(t) = Q0*e^(-t/Tau); U proportional Q, da C=Q/U; U(t) = U0*e^(-t/Tau); Entladung: U(t) = U0 * e^(-t/Tau); Aufladung: U(t) = U0 * (1 - e^(-t/Tau)); ____ ____ / | / | Auf- und Entladung eines Kondensators | \___| \___ Tau ist die Zeitkonstante mit der Einheit 1/s = Hz; Tau:=R*C; dLN(U) / dt = -1/T; Der elektrische Fluss Psi proportional zur Huellflaeche und zum Feld einer eingeschlossenen Ladung. Er ist gleich der eingeschlossenen Ladung: Psi = eps0 * INTERGAL ueber Huellflaeche (E * dA) = Q; (Gauss'scher Satz) Der Zylinderkondensator besteht aus 2 koaxialen Zylindern (Hoehe h). Zwischen diesen herrscht ein radialsymmetrisches Feld. Psi = eps0 * SUM(E*dA) = Q; Azylinder = 2*r*pi*h; Q = eps0 *E(r) * 2 * pi * r * h; E(r) = Q/(eps0*2*r*pi*h); U = INTEGRAL von ri bis ra von E(r)*dr; U = INTEGRAL von ri bis ra von Q/(eps0*2*r*pi*h)*dr; U = Q/(2*pi*eps0*h) * LN(ra/ri); C = Q/U; C = 2*pi*eps0*h / LN(ra/ri); Das Magnetfeld um einen Leiter verlaeuft wie die Finger der rechten gekruemmten Hand, wenn der Daumen in die technische Stromrichtung zeigt. Die Magnetische Feldstaerke H in einer Spule der Laenge s mit n Windungen ist H = I*n/s; [H] = A/m; Die magnetische Flussdichte ist proportional zu H: B = æ0*H; [B] = V*s/m^2 = T(esla); æ0 ist die magnetische Feldkonstante mit der Einheit V*s/A/m; Die Permeabilitaetszahl ær ist vom Material innerhalb des Feldes abhaengig und muss in alle Terme mit æ0 als Faktor mit einfliessen; Die Lorentzkraft in einem Magnetfeld zieht ein Elektron in Richtung des Daumens, wenn dieser seitlich von der flachen rechten Hand absteht, das Magnetfeld den Handruecken senkrecht durchsticht und die Finger in die technische Stromrichtung zeigen. Fl = I*s*B; Fl = B*e*v; In einem Fadenstrahlrohr (Wehneltzylinder, e-Abschuss-Kanone) werden Elektronen von einer Heizung (Kathode, Heizwendel) abgedampft und durch eine zwischen Heizung und einem Metallzylinder liegende Beschleunigungsspannung beschleunigt. \\ \ \\ --------------------> e \\ / \\ | Wehneltzylinder | | +---(-) (+)--+ ^--- Heizung In einem Magnetfeld fliegen Elektronen in einem Kreis, wobei gilt: Fz = Fl; m*v/B/e = r; (r-y)^2 + x^2 = r^2; (Satz des Pythagoras) y(x) = r - SQRT(r^2-x^2); In einem Linearbeschleuniger durchlaufen die zu beschleunigenden Teilchen eine Reihe ringfoermiger Elektroden (roehren), die abwechselnd mit den beiden Polen eines Hochfrequenzgenerators in Verbindung stehen. Die Beschleunigung erfolgt nur in den Zwischenraeumen durch die anziehende Polung der jeweils vorausliegenden Roehre. In einem Zyklotron sind zwei Duanten an einen Hochfrequenzgenerator angeschlossen (Form wie eine senkrecht durchgeschnittene Keksdose). Ein starkes Magnetfeld durchkreuzt die Haelften von oben. In der Mitte werden mit einer Gluehkathode Teilchen ausgestossen, die in dem einen Duanten wg. B einen Halbkreis durchlaufen. Auf dem Zwischenraum zum 2. Duanten werden sie durch anziehende Polung beschleunigt und durchlaufen einen Halbkreis in diesem Duanten mit groesserem Radius. In einer Hallsonde fliesst durch ein Halbleiterplaettchen ein Strom. Tritt ein das Plaettchen senkrecht durchstossendes magnetisches Feld auf, so werden die Elektronen zu einer Seite des Plaettchens hingezogen: Es tritt eine Spannung zwischen den Raendern des Plaettchens auf, die proportional zur Feldstaerke ist. Ferromagnetische Stoffe sind von Natur aus unterhalb der Temnperatur des Curie-Pinktes magnetisch. Es sind Dauermagnete aus Eisen, Nickel oder Cobalt. Paramagnteische Stoffe werden erst durch ein starkes magnetisches Feld influenziert und gerichtet. Den Diamagnetismus haben alle Stoffe, sie bilden in einem starken magnetischen Feld ein Gegenfeld. Die Hystereseschleife ist eine S-foermige Figur, die sich bei der Magnetisierung eines Stoffes im B- (Wirkung) H- (Ursache) Diagramm ergibt. Die S-Form ergibt sich als eine Art Saettigungskurve. Entmagnetisierungs- und Magnetisierungskurve liegen nicht aufeinander, da eine sogenannte Koerzitivkraft den jeweiligen vorherigen magnetischen Zustand zu halten sucht. Wird ein Leiter der Laenge d in einem konstanten Magnetfeld B senkrecht zu diesem mit v bewegt, so entsteht durch die die Elektronen bewegende Lorentzkraft die induzierte Spannung Uind. Die elektrische Kraft des entstehenden Feldes wirkt der Lorentzkraft entgegen: Fel = Fl q*E = q*v*B; E=U/d; Uind = d*v*B; Uind = d*ds/dt*B; Uind = dA*B/dt; (dA ist senkrecht zum Magnetfeld ueberstrichene Flaeche) Psi:=B*A; Uind = dPsi/dt; Psi ist der magnetische (Durch-)Fluss des Feldes B durch die dazu senkrechte Flaeche A. Befinden sich mehrere Leiter in B, so ergibt sich: Uind = n*A*B/dt; Uind = n*Psi'; Beim Induzieren wird mechanische Arbeit in elektrische umgewandelt: Wmech = F*s = F*v*dt = I*d*B*v*dt; Wel = U*I*t = B*d*v*i*dt = Wmech; Aendert sich der magnetische Fluss Psi in einer Spule mit n Windungen, so tritt zwischen ihren Enden die Induktionsspannung Uind auf, da Uind = n*Psi'; Uind = n*(A*B)'; Uind = n* (A*B' + A'*B); d.h. bei Flaechenaenderung: Uind = n*A'*B; bei Magnetfeldaenderung wie hier: Uind = n*A*B'; Die Induktionsspannung wirkt der Versorgungsspannung entgegen: Uind = -n*Psi'; 1. Maxwellgleichung: 1/æ0 * SUM B(n)*ds(n) = SUM I + SUM dE(n)/dt*dA; zzgl. Maxwellzusatz; 2. Maxwellgleichung: U = SUM E(n)*ds(n); Psi = SUM B(n)*dA(n); Uind = -dPsi/dt; INTEGRAL E*ds = -INTEGRAL dB/dt*dA (jew. ueber Huellflaeche) 3. Maxwellgleichung: eps0*E*A = Q; 4. Maxwellgleichung: INTEGRAL ueber Huellflaeche B*dA = 0 Die Aufsummierung aller Fluesse ergibt 0, magnetische Felder sind quellenfrei; Ein Oszilloskop kann nur Spannung messen. Der Strom muss mithilfe eines Widerstandes berechnet werden. Ein Oszilloskp kann nur sich periodisch wiederholende Vorgaenge sinnvoll anzeigen. Eine Spule wirkt ihrer "Ladung und Entladung" durch das sich aufbauende oder absinkende Magnetfeld durch Selbstinduktion entgegen: Uind = -n*Psi'; Psi = æ0*ær*n*A*I/d; Uind = -n^2*æ0*ær*n*A/d * I'; n*æ0*ær*n^2*A/d = CONST; L = n*æ0*ær*n^2*A/d; Uind = -L*I'; L ist die Induktivitaet der Spule. [L] = v*s/A = H(enry); (Lenzsche Regel) Schaltet man einen Widerstand und eine Spule hintereinander, so gilt: U(t) = U0+UL; UL=-L*dI/dt; I(t)*R = U0-L*dI/dt; U0=I0*R; R*I(t) = R*I0-L*dI/dt; dI/(I(t)-I0) = -R/L*dt; INTEGRAL von I(t0) bis I von dI/(I0-I(t) = INTEGRAL von t0 bis t von R*dt/L -LN(I0-I)+LN(I0) = R/L*t; LN((I0-I)/I0)=-R/L*t; Tau:=L/R; I = I0*(1-e^(t/Tau)); Die elektrische Energie einer Spule berechnet sich wie folgt: Wel = U*I*t; Wel = INTEGRAL von t0 bis t von U(t)*I(t)*dt; U(t) = -L*I'; Wel = INTEGRAL -L*I'*I(t)*dt; I(t) = I0*e^(-t/Tau); I' = I0/-Tau*e^(-t/Tau); Wel = INTEGRAL -L * I0/-Tau*e^(-t/Tau) * I0*e^(-t/Tau) * dt; Wel = -L*I0^2/-Tau * INTEGRAL e^(-t/Tau*2) * dt Wel = L*I0^2/Tau * -Tau/2 * (1-e^(-2*t/Tau)); Fuer t->oo Wel = .5*L*I0^2; ------------------------------------------------------------------------------ WECHSELSTROMLEHRE ------------------------------------------------------------------------------ w (Omega) ist die Winkelgeschwindigkeit: alpha = w*t; w = Winkel pro Zeit; w = 2*pi*f = 2*pi/T; Bei Wechselstrom gilt: U(t) = Umax*SIN(w*t); I(t) = Imax*SIN(w*t); (Trigonometrische Funktionen wegen der Generation am Dynamo); Leistungsvergleich Gleichstrom, Wechselstrom: Gleichstrom: P = U*I = R*I^2; Wechselstrom: P(t) = U(t)*I(t); U(t) = Umax*SIN(w*t); I(t) = Imax*SIN(w*t); P(t) = Umax*SIN(w*t)*Imax*SIN(w*t); Umax = Imax*R; P(t) = Imax^2*SIN(w*t)^2*R; SIN(w*t)^2 = .5*(1-COS(2*w+t)); P(t) = Imax^2*R*.5*(1-COS(2*w+t)); P(t) = Imax^2*R*.5 - Imax^2*R*.5*COS(2*w*t); Fuer 1 Periodendauer ist der zeitabhaengige Teil in seiner Summe 0. DurchschnittsP = .5*R*Imax^2; P = R*I^2; (I des entsprechenden Gleichstromes) Imax^2 = 2 * I^2; I = 1/SQRT(2) * Imax; I = Ieff ist derjenige Gleichstrom, der im Durchschnitt die selbe Leistung bringt wie der Wechselstrom. Anzeigegeraete zeigen nur Ieff. R = U(t)/I(t) = Ueff/Ieff; Der Kondensator im Wechselstromkreis: Mit zunehmender Frequenz sinkt die Spannung am Kondensator, sein Widerstand nimmt ab, die Stromstaerke steigt und ein Laempchen leuchtet heller. Die schnelle Frequenz laesst keine Zeit zur vollstaendigen Spannungssaettigung des Kondensators => die Spannung sinkt. Da nach C=Q/U, I=U/t*C der Strom proportional zur Ableitung der Spannung ist und die Steigung des U-Graphen gerade im ersten Teil besonders gross ist, nimmt der Strom zu. Am Anfang des Ladens ist der Stromfluss hoch und die Spannung gering. Die Spule im Wechselstromkreis: Mit zunehmender Frequenz steigt die Spannung an der Spule, ihr Widerstand wird groesser, die Stromstaerke sinkt und ein Laempchen leuchtet weniger hell. Der Spulenstromanstieg wird vor der Saettigung abgebrochen. Da die Spannung nach Uind = -L*I' zur Ableitung proportional ist, und die Steigung des I-Graphen gerade im ersten Teil besonders gross ist, nimmt die Spannung zu. Am Anfang des Ladens ist die Spannung hoch und der Strom gering. Der "kapazitive Blind-" Widerstand eines Kondensators im Wechselstromkreis ist antiproportional zur Frequenz und zur Kapazitaet: Q(t) = C*U(t); Q(t) = C*U0*SIN(w*t); (Derive) I(t) = C*U0*w*COS(w*t); Fuer den maximalen Wert: I0 = C*U0*w; R=U0/I0; R = 1/w/C; Der "induktive Blind-" Widerstand einer Spule im Wechselstromkreis ist proportional zur Induktivitaet und zur Frequenz: Uind = -L*I'; I' = I0*w*COS(w*t); Uind = U(t) als selbststaendige Spannungsquelle aufgefasst; U(t) = L*I0*w*COS(w*t); Fuer maximalen Wert: U0 = L*I0*w; R=U0/I0; R = L*w; Im Kondensator im Wechselstrom eilt der Strom der Spannung voraus, da der Strom sofort maximal ist, waehrend die Spannung nach U(t)=U0*e^(-t/Tau) exponentiell ansteigt. In der Spule im Wechselstrom eilt die Spannung dem Strom voraus, da die Spannung sofort maximal ist, waehrend der Strom exponentiell ansteigt. Den Gesamtwiderstand (Impedanz) Z oder die Gesamtspannung von Blindwiderstand und ohmschen Widerstand bestimmt man mithilfe eines Zeigerdiagramms. Man traegt die jeweilige Groesse mit ihrer der Masszahl entsprechenden Laenge und der Phasenverschiebung zu den anderen Groessen entsprechenden Winkel in ein rechtwinkliges Koordinatensystem und ermittelt die resultierende Groesse und deren Phasenverschiebung phi durch Vektoraddition. Die Phasenverschiebung ist positiv, wenn U I vorauseilt. Den frequenzunabhaengigen ohmschen Widerstand nennt man auch Wirkwiderstand. Dementsprechend Rw, Uw, Iw. Aus den Zeigerdiagrammen ergibt sich beim Hintereinanderschalten von Spule, Kondensator und Wirkwiderstand (Siebkette): Z = SQRT(Rw^2+(RL-Rc)^2); TAN(phi) = (RL-Rc)/Rw; Im Resonanzfall einer Siebkette sind RL und Rc gleich gross, der zweite Summand im Z-Term faellt weg und der Widerstand ist minimal, naemlich gleich dem Wirkwiderstand. Fuer den Resonanzfall gilt: RL = Rc w*L = 1/w/C; w^2 = 1/L/C; f = 1/2/pi * SQRT(1/L/C); Unterhalb des Resonanzpunktes werden zu tiefe Frequenzen durch den Kondensator "ausgesiebt", oberhalb zu hohe Frequenzen durch die Spule. Beim Parallelschalten von kapazitivem und induktivem Blindwiderstand (Sperrkreis) zeichnet man das Zeigerdiagramm fuer I und erhaelt: Z = 1/SQRT(1/Rw^2+(w*C-1/w/L)^2); TAN(phi) = R*(w*C-1/w/L); Ic und IL haben zu jedem Zeitpunkt verschiedenes Vorzeichen. Sind die Maxima gleich, so wandern die Elektronen bestaendig im Sperrkreis hin und her. Entlaedt sich der Kondensator, so wirkt die Spule dem entgegen und baut ein Magnetfeld auf. Wenn der Kondensator entladen ist, verzoegert die Spule ihre Entladung und laedt den Kondensator entgegengesetzt usw. Eine Triode ist eine Glasroehre mit Vakuum, in der an einem Ende an einer Heizung (Kathode) Elektronen abgedampft werden. Auf der anderen Seite befindet sich eine Anode, zu der die Elektronen beschleunigt werden. Auf halbem Weg befindet sich ein Gitter, das bei negativer Ladung die Elektronen abblockt, sie bei positiver Ladung in Richtung Anode beschleunigt. Eine Meissnerschaltung (Meissner'sche Rueckkopplungsschaltung) besteht aus hintereinandergeschaltetem Sperrkreis und Triode, wobei an das Gitter der Triode an eine Spule angeschlossen ist, die parallel zur Spule des Sperrkreises liegt: +---------------+ | | Anode | Gitter-----+ +--+-+ Kathode | | | | // // - | // // - | | | | | | +--+-+ | | | +--------o o (-) (+) Die Meissnerschaltung sorgt durch Rueckkopplung fuer genau richtig getimten Nachschub fuer die Schwingung im LC-Glied, es entsteht eine ungedaempfte elektromagnetische Schwingung. ------------------------------------------------------------------------------ SCHWINGUNGEN ------------------------------------------------------------------------------ Unter der harmonischen Schwingung eines Koerpers versteht man eine unter der Einwirkung einer Rueckstellkraft um eine Gleichgewichtslage des Koerpers verlaufende Bewegung, bei der sich die Auslenkungen des Koerpers aus der Ruhelage zeitlich periodisch wiederholen. Das System kann nur dann schwingen, wenn mit der Elongation y eine Rueckstellkraft F verbunden ist. F muss immer y entgegengerichtet sein, es gilt der Ansatz: F = -D*y; ÿD ist Materialkonstante; m*s'' = -D*s; s(t) = s0*SIN(w*t); s'' = -s0*w^2*SIN(w*t); m*-s0*w^2*SIN(w*t) = -D*s0*SIN(w*t); w^2*m = D; T = 2*pi*SQRT(m/D); Schwingungsbewegungen sind die Projektion einer Kreisbahn. Deshalb gilt der Ansatz s(t) = s0*SIN(w*t). Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz und das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz ergeben sich aequivalent durch Betrachtung der Vektoren am Kreis und durch Bilden der Ableitungen. Bei mechanischen Schwingungen wird potenzielle und kinetische Energie vollstaendig ineinander umgewandelt: Wges = Wkin + Wspann; Wges = .5*m*v(t)^2 + .5*D*s(t)^2; v(t) = s' = s0*w*COS(w*t); Wges = .5*m*s0^2*w^2*COS(w*t)^2 + .5*D*s0^2*SIN(w*t)^2; Wges = .5*s0^2 * (m*w^2*COS(w*t)^2 + D*SIN(w*t)^2); D = w^2*m; COS()^2+SIN()^2 = 1; Wges = .5*s0^2*m*w^2; w = v/s0; Wges = .5*m*v0^2 = Wkinmax; Bei elektromagnetischen Schwingungen werden elektrische und magnetische Energie vollstaendig ineinander umgewandelt: Wges = Wel + Wm; Wges = .5*Q(t)*U + .5*L*I(t)^2; I(t) = Q'; Wges = .5*1/C*Q(t)^2 + .5*L*Q'^2; Q(t) = Q0*SIN(w*t); Wges = .5*Q0^2 * (SIN(w*t)^2*1/C + w^2*L*COS(w*t)^2); w^2=1/L/C; (Thomson) COS()^2+SIN()^2 = 1; Wges = .5*Q0^2/C; C = Q/U; Wges = .5*Q0*U = Welmax; Besipiel: Berechnung von T eines im Wasser senkrecht eingetauchten schwingendenden Reagenzglases: F = Fr; Fr = Rueckstellkraft; m*s'' = -V*rho*g; Rueckstellkraft ist Gewichtskraft des verdraengten Wassers; m*s'' = -A*s(t)*g*rho; s(t) = s0*SIN(w*t); s'' = -s0*w^2*SIN(w*t); m*s0*w^2*SIN(w*t) = A*s0*SIN(w*t)*g*rho; w = SQRT(A*g*rho/m); A = pi*r^2; T = 2*pi/w; T = 2/r * SQRT(pi*m/g/rho); Um eine erzwungene e-m-Schwingung zu erzeugen, schaltet man einen unabhaengigen Sperrkreis (Sekundaerkreis) und legt neben die Spule eine andere Spule, die an einen Wechselstrom angeschlossen wird (Primaerkreis). Der Primaerkreis regt durch Influenz die Spule des Sperrkreises an und dieser beginnt zu schwingen. Trifft man genau die Resonanzfrequenz, so schwingt der Sperrkreis (fast) ungehindert. Schaltet man in einen Sperrkreis einen Widerstand mit ein, so wird die Schwingung gedaempft. Um sie auf dem Oszilloskop anzuzeigen, regt man je eine gedaempfte Schwingung durch eine nebenliegende Spule mit Rechtecksimpuls an. Die Spannung im Sperrkreis bei einer gedaempften Schwingung verlaeuft wie gewohnt nach einer Sinuskurve, jedoch sinkt deren Amplitude nach einer e-Funktion. Es gilt: UL(t) + Uc(t) + Ur(t) = 0; L*Q'' + Q(t)/C+ R*Q' = 0; Q(t) = Q0*e^(-k*t) * SIN(w*t); Q' = Q0*e^(-k*t) * (-k*SIN(w*t)+w*COS(w*t)); Q'' = Q0*e^(-k*t) * (k^2*SIN(w*t)-2*k*w*COS(w*t)-w^2*SIN(w*t)); SIN(w*t)*(-k^2*L+L^2*w^2-1/C+R*k) = COS(w*t)*(-2*L*k*w+R*w); Damit diese Gleichung fuer alle t gilt, muessen die Klammerausdruecke einzeln Null sein: -k^2*L+L^2*w^2-1/C+R*k = 0 & -2*L*k*w+R*w = 0; Es ergibt sich: k = R/2/L & w = SQRT(1/C/L-k^2); Nach dem Stokeschen Gesetz ist die Reibungskraft Fr = 6*pi*eta*alpha*r*v; eta = Viskositaet, Zaehigkeit der Umgebung; alpha = Formkonstante, ungefaehr 1; r = Radius des Koerpers; v = Geschwindigkeit des Koerpers; Die Reibungskraft haengt von der Geschwindigkeit ab, da ein durch die Gewichtskraft beschleunigter Koerper wegen der damit steigenden Reibungskraft Fr nur solange die Geschwindigkeit vergroessert, bis Fr = Fg gilt, was schon nach kurzer Zeit der Fall ist. Bei gedaempften mechanische Schwingungen gilt: F(t) + D*s(t) + Fr(t) = 0, wobei F(t) die antreibende Kraft ist (Traegheit), D*s(t) die Rueckstellkraft und Fr(t) die Reibungskraft nach Stoke; m*s'' + D*s(t) + r*s' = 0; s(t) = s0*e^(-k*t) * SIN(w*t); s' = s0*e^(-k*t) * (-k*SIN(w*t)+w*COS(w*t)); s'' = s0*e^(-k*t) * (k^2*SIN(w*t)-2*k*w*COS(w*t)-w^2*SIN(w*t)); Aequivalent zu obigen Umformungen ergibt sich: k = R/2/m; w = SQRT(D/m - r^2/4/m^2); Eine Welle entsteht, wenn eine Reihe schwingungsfaehiger Systeme nacheinander gleichaertige Schwingungen ausfuehrt. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit betraegt: c = lambda / T = v; lambda = Wellenlaenge; T = 1/f; Bei einer Welle breitet sich nur der Schwingungszustand aus. Die einzelnen Teilchen fuehren lediglich Schwingungen um eine ortsfeste Gleichgewichtslage aus. Jede Wellenbewegung ist durch die Kopplung mit einem Transport von Energie verbunden. Der Energietransport geht ohne Massentransport vor sich. Erfolgen die Schwingungen der einzelnen Oszillatoren quer zur Bewegungsrichtung, so nennt man diese Transversalwellen (Beispiel Wasser). Bei einer periodischen Laengsstoerung von Wellen spricht man von Longitudinalwellen (Beispiel Schall). Der Erreger einer Welle fuehrt eine harmonische Schwingung aus: y = y0*SIN(w*t) = y0*SIN(2*pi/T*t); Dann kommt der Schwingungszustand, der zur Zeit t1=0 im Punkt A herrschte, zur Zeit t2 = x/v im Punkt B an. t2 = x/v = x/lambda*T; Jede Schwingungsphase trifft in B um die Zeit dt spaeter ein als in A y = y0*SIN(2*pi/T*(t2-t1)); y = y0*SIN(2*pi*(t2/T - t1/T)); t1 = x*T/lambda; y(t,x) = y0*SIN(2*pi*(t/T - x/lambda); Fuer ein konstantes x liefert die Gleichung die Schwingung eines einzelnen Teilchens. Fuer ein konstantes t zeichnet y(x) den Wellenverlauf bei einer Momentanaufnahme nach. Durch die Ueberlagerung von Transversalwellen gleicher Frequenz und Amplitude erhalten wir eine "stehende Welle". (Beispiel: Seil wird irgendwo befestigt und mit der Hand am losen Ende in Schwingungen versetzt.) In der "Grundschwingung" schwingt der Mittelpunkt von oben nach unten, in der "ersten Oberschwingung" erhaelt man eine Periode der Sinus-Welle (also einen Knoten in der Mitte, beide Haelften schwingen), in der "2. Oberschwingung" erhaelt man 3 entgegengesetzt schwingende Drittel und 2 Kotenpunkte usw. Die Knotenpunkte liegen dabei im Abstand von lambda/2. Da die Wellentraegerlaenge nur ganz bestimmte stehende Wellen zulaesst, muessen die Anregungsfrequenzen ganz bestimmte diskrete Werte besitzen: s = n*lambda/2; f = v*n/2/s; Beim Kundschen Versuch zur Schallgeschwindigkeistmessung erzeugt man mit einem Frequenzgenerator einen Ton in eine Glasroehre hinein. Die Glasroehre ist hinten mit einem beweglichen Stempel (wie eine Posaune) verschlossen und in ihr liegt Lykopodium (Sporen). Stellt man den Stempel so ein, dass die reflektierten Schallwellen eine stehende Welle bilden, so zeigen sich deren Baeuche durch Bewegung des Lykopodiums. Auf diese Weise kann man eine Schallwelle nachzeichnen und lambda bestimmen. Nach f=v/lambda kann dann die Schallgeschwindigkeit (v=330m/s) errechnet werden. Zur Berechnung einer stehenden Welle legt man eine einfallende und eine reflektierte Welle gleicher Frequenz und gleicher Amplitude uebereinander: y1 = y0*SIN(2*pi*(t/T - x/lambda)); y2 = y0*SIN(2*pi*(t/T + x/lambda)); yres = y1+y2; yres = y0*(SIN(2*pi*(t/T - x/lambda)) + SIN(2*pi*(t/T + x/lambda)); Nach dem Additionstheorem SIN(a+b) = SIN(a)*COS(b) + SIN(b)*COS(a); SIN(a-b) = SIN(a)*COS(b) - SIN(b)*COS(a); ergibt sich: yres = y0 * SIN(2*pi*t/T)*COS(2*pi*x/lambda)*2; Demnach gibt es Baeuche (yresmax = 2*ymax), wenn SIN(2*pi*t/T)*COS(2*pi*x/lambda)=1 und Knoten, wenn SIN(2*pi*t/T)=0 | COS(2*pi*x/lambda)=0. Die Leistung einer Welle ist proportional zu ihrer Amplitude. Ein Wellentraegerstueckchen der Laenge dx erfaehrt die Bewegung y(t) = y0*SIN(2*pi*(t/T-x/lambda)); Seine Geschwindigkeit ist demnach: v(t) = y' = y0*w*COS(2*pi*(t/T-x/lambda)); Seine kinetische Energie betraegt: Wkin = .5 * dm * y0^2*w^2*COS(2*pi*(t/T-x/lambda))^2; dm = m*dx/lambda; Wkinmax = .5*m*dx/lambda*y0*w^2; Seine Leistung ist: Pmax = Wkinmax/dt = .5*m*dx/lambda*y0*w^2/dt; dx/dt = v; Pmax = .5*m/lambda*v*w^2*y0^2; Die Leistung einer Welle ist proportional zum Quadrat der Amplitude und proportional zur Frequenz. Bei der Ueberlagerung zweier Sinus-Wellen entsteht wiederum eine Sinus-Welle. Nach T, der Schwebungszeit, in der n Schwingungen mit der kleineren Frequenz und n+1 Schwingungen mit der groesseren Frequenz erfolgen, gilt: T = n*T2 = (n+1)*T1; n = T1/(T2-T1); n=T/T2; T = T1*T2/(T2-T1); f = (T2-T1)/(T1*T2); f = 1/T1 - 1/T2; f = f1-f2; Durch den Dopplereffekt veraendert sich die Frequenz (f, lambda, c) einer bewegten (v) Schallquelle fuer einen stehenden Beobachter (f',lambda'): lambda' = lambda - T*v; (der naechste Wellenberg ist bereits um s = T*v naeher); lambda = c/f; c/f' = c/f - T*v; f' = c / (c/f-T*v); Erweiterung mit 1/lambda; f' = c/lamda / (c/f/lambda - T*v/lambda); f' = f / (1-v/c); Entsprechend mit einer sich entfernenden Schallquelle: f' = f / (1+v/c); Bewegt sich der Beobachter, so veraendert sich fuer ihn ebenfalls die Frequenz. Kommt ein Wellenzug mit c auf den Beobachter zu und bewegt sich der Beobachter mit v auf die Schallquelle zu, so ist fuer ihn die Zeit zwischen den Wellenbergen: T' = s/v = lambda/(c+v); f' = (c+v) / lambda; f' = c/lambda + v/lambda; f' = f + v/c*f; f' = f*(1+v/c); Entsprechend bei sich entfernendem Beobachter: f' = f*(1-v/c); ------------------------------------------------------------------------------ LICHT ------------------------------------------------------------------------------ VAR k:integer; Licht breitet sich mit der Geschwindigkeit CONST c = 2.99792458E8 m/s aus. Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Fizeau: Ein lichtstrahl geht unbehindert durch einen halbdurchlaessigen Spiegel, dann durch ein sich schnell drehendes Zahnrad, wird an einem weit entferntem Spiegel reflektiert, geht wieder durch das Zahnrad und wird von dem halbdurchlaessigen Spiegel an einen Schirm geworfen. Dreht sich das Zahnrad schnell genug, so werden genau die auf dem Hinweg durchgelassenen Lichtstrecken auf dem Rueckweg durch den naechsten Zacken abgeblockt und der Schirm bleibt dunkel. In dieser Konfiguration hat das Licht die Strecke zum Spiegel und zurueck genau in der Zeit zurueckgelegt, in der ein Zahn sich um 1/(Zaehne+Luecken) bewegt hat. Daraus laesst sich die Lichtgeschwindigkeit berechnen. Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Foucault: Ein Lichtstrahl trifft senkrecht auf einen Drehspiegel, dieser wirft ihn durch eine nebenstehende Linse auf einen Spiegel (dadurch sind alle Strahlen Linse-Spiegel parallel) und das Licht geht den selben Weg zurueck. Dreht sich der Spiegel schnell, ist er bei Rueckkehr des Strahles schon etwas weiter gedreht und wirft den Strahl neben den Spalt. Aus dieser Ablenkung kann der Winkel des Spiegels berechnet werden, aus dem Winkel die Zeit und aus Zeit und Strecke die Lichtgeschwindigkeit. Gehen Lichtstrahlen auseinander, so divergieren sie. Gehen Lichtstrahlen auf einen Punkt zu, so konvergieren sie. Verlaeuft ein Lichtstrahl von einem optisch duennen Medium in ein optisch dichteres, so wird er zum Lot hingebrochen, bei der Umkehrung vom Lot weg. Der Brechungsindex ist fuer gleiche Materialien konstant: n12 = SIN(Einfallswinkel)/SIN(Ausfallswinkel) = v1/v2 = lambda1/lambda2; Unterschiedliche Farben haben unterschiedliche Brechungsindizes. Blau wird am staerksten abgelenkt, rot am wenigsten stark. Der Lichtstrahl nimmt bei der Brechung den zeitlich kuerzesten Weg (Fermatsches Prinzip). A. alfa| Lot n1 . | Duennes Meduim, v1 a . |P ------+--------- |. | . b Dichtes Medium, v2D->C, die andere wird reflektiert und die beiden Wellen interferieren. Die erste Welle legt BDC zurueck, die zweite AC. Sei alpha der Einfallswinkel (zum Lot) und beta der Ausfallswinkel, n der Brechungsindex. Erste Welle: COS(beta) = d/BD; BD = d/COS(beta); s1 = n*2*d/COS(beta); Zweite Welle: AC = BC*SIN(alpha); BC = 2*d*TAN(beta); AC = 2*d*TAN(beta); s2 = 2*d*TAN(beta); Die optische Wegdifferenz ist: s = s2-s1 = 2*d*n/COS(beta) - 2*d*TAN(beta)*SIN(alpha) +lambda/2; s = 2*d * (n/COS(beta) - SIN(beta)/COS(beta)*SIN(alpha)) +lambda/2; s = 2*d/COS(beta)*n * (1-SIN(beta)*SIN(alpha)/n) +lambda/2; n=SIN(alpha)/SIN(beta); s = 2*n*d/COS(beta) * (1-SIN(beta)^2) +lambda/2; s = 2*d*n*COS(beta) +lambda/2; Intensitaetsminimum bei. s = (k+.5)*lambda; k*lambda = 2*d*COS(beta); Licht kann als Welle durch einen Polarisator (||| Gitter) polarisiert (bestimmter Wellenformen entledigt) werden. Haelt man vor eine Lichtquelle einen Polarisator und dahinter einen Analysator (einen zweiten, drehbaren Polarisator), so kann man das Licht komplett abblocken, indem man den einen Polarisator waagerecht stellt (nur -- Wellen gehen durch), den anderen senkrecht (nur ||| Wellen gingen durch). Polarisatoren sind duenne Gitter aus Molekuelketten. Laesst man einen Lichtsrahl so auf ein Medium fallen, dass der Winkel zwischen reflektiertem Strahl und gebrochenem Strahl 90ø ist, so ist das reflektierte Licht polarisiert (Brewster-Gesetz). Die Bedingung lautet: alpha+90ø+beta = 180ø; beta = 90ø-alpha; also SIN(beta9 = COS(alpha); n = SIN(alpha)/SIN(beta) = SIN(alpha)/COS(alpha) = TAN(alpha) = n; Die Teile der zweidimensionalen Eintrittswelle, die wie der angehobene Deckel eines auf dem Tisch liegenden Buches auftreffen, werden sowohl reflektiert als auch gebrochen. Bei denjenigen Teilen, die wie ein in ein Brett gestecktes Messer ankommen, werden die Oszillatoren des Mediums genau in die Reflexionsrichtung (d.h. senkrecht zur Eintreffrichtung) angeregt: Sie geben keine Bewegung in die Reflexionsrichtung weiter. Reflektiert werden also nur Komponenten, die flach auftreffen, das reflektierte Licht ist polarisiert. Bestimmte sogenannte anisotrope Stoffe drehen die Polarisationsebene (z.B. Zuckerloesung). Laesst man Licht durch Flintglas fallen und besteht parallel dazu ein Magnetfeld, so wird das Licht polarisiert (Faraday-Effekt). Durch die sogenannte Bragg-Reflexion kann man die Wellenlaenge von Strahlung bestimmen: Faellt die Strahlung auf ein Kristallgitter (sieht aus wie Rechenkaestchenpapier), so reflektieren die einzelnen Molekuele die Strahlung. In einem bestimmten Winkel (Glanzwinkel) ist die Wegdifferenz der in der ersten und in der zweiten "Netzebene" reflektierten Wellen genau gleich n*lambda, es ist eine Verstaerkung messbar. Misst man bei der Bragg-Reflexion den Einfallswinkel zwischen Flaeche und Strahlung und ist d der Abstand der Netzebenen, so gilt: ds = 2*SIN(alpha)*d = n*lambda; Um festzustellen, ob Licht eine absolute Geschwindigkeit hat, fuehrte man 1886 das Michelson-Morley-Experiment durch: ___ S2 | |^ ------> |v Erdbewegung v = 30 km/s; O -->----/---->-<-| O Lampe | S1 S1,S2 Spiegel v / halbdurchlaessiger Spiegel HS | Schirm -----d--- Bei dem Experiment interferieren der Lichtstrahl O-S1-HS-Schirm und O-HS-S2-Schirm miteinander. Gaebe es einen Aether, so muesste der Weg in Bewegrichtung der Erde laenger benoetigen (t1) als der senkrecht zu ihr (t2), bei Drehung der Apparatur muessten sich verschiedene Interferenzmuster ergeben. Dazu diese Berechnung: Zeit parallel zur Erddrehung: t1 = d/(c-v) + d/(c+v); t1 = 2*d*c/(c^2-v^2); t1 = 2*d/c * 1/(1-v^2/c^2); Zeit vertikal zur Erdrehung: Geschwindigkeit v zeigt nach rechts, c nach oben, die resultierende Geschwindigkeit ist SQRT(c^2-v^2); t2 = 2*d/SQRT(c^2-v^2); t2 = 2*d/c * 1/SQRT(1-v^2/c^2); Das Verhaeltnis der beiden Laufzeiten ist: t1/t2 = 1/SQRT(1-v^2/c^2); Die Laufzeitdifferenz liegt innerhalb des messbaren Bereichs. Trotz vieler Versuche trat keinerlei Laufzeitdifferenz auf. Die Lichtgeschwindigkeit ist konstant. ------------------------------------------------------------------------------ RELATIVITAETSTHEORIE ------------------------------------------------------------------------------ REM E Ereignis; REM S Inertialsystem; REM ' im vom Beobachter aus bewegten Inertialsystem; REM k Korrekturfaktor; REM u Geschwindigkeit; REM w Geschwindigkeit; Als Galilei-Transformation bezeichnet man die Umrechnung von Koordinaten auf der Grundlage der klassischen Mechanik Galileis und Newtons. Die Existenz einer absoluten Zeit fuehrt zu der Transformationsgleichung der Zeit: t' = t; Bewegt sich S' relativ zu S mit v und hat das Ereignis E in S die Koordinaten x,y,z,t, so kann man mit Transformationsgleichungen die Koordinaten x',y',z',t' von E in S' berechnen: x = x'+v*t; x' = x-v*t; y = y'; z = z'; t = t'; Die relativistische Lorentz-Transformation beruecksichtigt, dass das Licht in jedem Inertialsystem dieselbe Geschwindigkeit hat. Annahme: Korrekturfaktor. x = k*(x'+v*t); x' = k*(x-v*t); Wird zur Zeit t=t'=0 ein im gerade zusammenfallenden Koordinatenursprung ein Lichtsignal ausgesandt, so legt das Licht im System S in der Zeit t den Weg x=c*t zurueck, im System S' den Weg x'=c*t'. x' = c*t' x = c*t; -------- c*t' = k*(x-v*t) c*t = k*(x'+v*t'); -------- c*t' = k*(c*t-v*t) c*t = k*(c*t'+v*t'); -------- c*t' = k*t*(c-v) c*t = k*t'*(c+v); Multiplikation beider Gleichungen -------- c^2*t*t' = k^2*t*t'*(c^2-v^2); k = 1/SQRT(1-v^2/c^2); Transformationsgleichung fuer die Zeit: t' = x'/c; x' = k*(x-v*t); t' = k*(t-v/c^2*x); t = k*(t'+v/c^2*x'); Geschwindigkeitsaddition relativistisch: w = (x2'-x1')/(t2'-t1') + (x2-x1)/(t2-t1); Ersetzen aller Werte durch die Lorentztransformations-Aequivalente; k kuerzt sich; Ordnen; x2-x1-v*(t2-t1) x2'-x1'-v*(t2'-t1') w = --------------------- + --------------------- t2-t1-v/c^2*(x2-x1) t2'-t1'-v/c^2*(x2'-x1') Erweitern des linken Bruches mit 1/(t2-t1) und des rechten mit 1(t2'-t1'); Kuerzen; w = (u'+v) / (1 + v*u'/c^2); Durch die Laengenkontraktion erscheint ein bewegter Gegenstand in Bewegungsrichtung kuerzer: s = s*1/k; Wegen der Zeitdiletation vergeht die Zeit in einem bewegten System scheinbar langsamer: t = t'*k; Die Masse ist geschwindigkeitsabhaengig: m = m0*k; (m0 ist Ruhemasse) Die Ruheenergie eines Koerpers ist E0=m0*c^2; Masse ist eine Erscheinungsform der Energie. Die Gesamtenergie eines Koerpers ist E = m*c^2; Die kinetische Energie eines Koerpers ist die Differenz von Gesamtenergie und Ruheenergie. Zwei Ereignisse sind gleichzeitig, wenn von ihnen ausgehende Lichtstrahlen einen in der Mitte befindlichen Beobachter zugleich erreichen. Ein t-s-Diagramm nennt man Minkowski-Diagramm. Man traegt auf der x-Achse die (1-dimensionale) Position eines Punktes in Lichtsekunden ein und auf der y-Achse die zugehoerige Zeit in Sekunden. Eine Linie, die hier die Bewegung eines Massepunktes darstellt, nennt man Weltenlinie. Ist die Linie eine Gerade, so stellt sie eine gleichfoermige Bewegung dar, ist sie gekruemmt, so stellt sie eine beschleunigte Bewegung dar. Die Diagonale nennt man Lichtlinie. Eine Linie unterhalb der Lichtlinie ist nicht moeglich, da dieses v>c bedeuten wuerde. In einem Minkowski-Diagramm werden Inertialsysteme als schiefwinklige Koordinatensysteme eingezeichnet. Die t'-Achse wird bestimmt durch die Geschwindigkeit des S'-Systems; die x'-Achse ist die Spiegelung der t'-Achse an der Lichtline; Konstruktion der Einheitssrecke in S': Der Schnittpunkt der Parallelen zur x-Achse durch 1 mit der t'-Achse sei der Punkt Z; Die Strecke OZ wird jetzt mit dem Korrekturfaktor k gestreckt und zeigt auf die 1. Sekunde der t'-Achse; In einem Minkowski-Diagramm gilt fuer alle Inertialsysteme: Liegen zwei Ereignisse auf einer Parallelen zu irgendeiner x-Achse, so sind sie fuer das betreffende Inertialsystem zeitgleich. Liegen zwei Ereignisse auf einer Parallelen zu irgendeiner t-Achse, so liegen sie fuer das betreffende Inertialsystem am selben Ort. Rechnungen innerhalb eines Inertialsystems lassen sich am besten mit der Gleichung s(t)=v*t+s0 loesen. Der optische Dopplereffekt ist anders als der akustische, da hier das stehende Medium (Luft) zwischen Sender S und Empfaenger E fehlt. Geht man vom akustischen Dopplereffekt aus und bezieht man die langsamere Zeit des jeweils bewegten mit ein, so kommt man fuer Sender und Empfaenger auf dieselbe Formel: Empfaenger entfernt sich: fe = fs*(1-ve/c); Die Uhr des Empfaengers geht daher langsamer, die Frequenz erscheint hoeher: fs' = fs/SQRT(1-v^2/c^2); fe = fs/SQRT(1-v^2/c^2)*(1-ve/c); fe = fs/SQRT( (1-v/c)*(1+v/c) ) *(1-ve/c); fe = fs*SQRT( (1-v/c)/(1+v/c) ); Da c=f*lambda folgt: lambdae = lambdas*SQRT( (1+v/c)/(1-v/c) ); Die Lorentz-Kraft ist diejenige Kraft F, die eine elektrische Ladung q erfaehrt, die sich in einem elektromagnetischen Feld der Flussdichte B senkrecht zu den Magnetfeldlinien mit der Geschwindigkeit v bewegt: F = q * v * B. Sie laesst sich mit Hilfe der Relativitaetstheorie auf die Coulomb-Kraft zurueckfuehren, die die Probeladung q im elektrischen Feld E erfaehrt: F = E * q. ^ | F Beobachtung eines Leiters vom System q aus q + positiv geladene Atomruempfe - negativ geladene Valenz-Elektronen <-dsp-> xxxxx Magnetfeld ------------------------ + + + + -----> v - - - - ------------------> v + ve (wg. Strom) ------------------------ <-dse-> ..... Magnetfeld dse = dsp Die Lorentz-Kontraktion wirkt von q aus gesehen staerker fuer den Abstand der Elektronen als fuer den der Atomruempfe. Die Elektronen haben also eine scheinbar groessere Dichte fuer q als die Atomruempfe, der Leiter wirkt negativ geladen. Die Laengenladungsdichte l=dQ/ds veraendert sich durch die Lorentz-Kontraktion wie folgt: lp = l0 * (1-v^2/c^2)^-0.5 le = l0 * (1-(v+ve)^2/c^2)^-0.5 dl = le - lp dl = l0 * ( (1-(ve+v)^2/c^2)^-0.5 - (1-v^2/c^2)^-0.5 ) Umrechnung auf den elektrischen Fluss: D = dQ / dA | dA=2*pi*r*ds (Huellflaeche) D = dQ / (2*pi*r*ds) | dQ/ds = dl D = dl / (2*pi*r) | dl = ... D = l0/(2*pi*r) * ( (1-(ve+v)^2/c^2)^-0.5 - (1-v^2/c^2)^-0.5 ) | (1-a)^-0.5 = 1 + 0.5*a (Binominalreihe) D = l0/(2*pi*r) * ( 1 + (v+ve)^2/ (c^2*2) - 1 - v^2/ (c^2*2)) D = l0*(ve^2+2*ve*v) / (4*pi*r*c^2) | ve^2 sehr klein g'ueber c D = l0*ve*v / (2*pi*r*c^2) | E = D / eps0 Umrechnung ueber das elektrische Feld auf die Coulomb-Kraft: E = l0*ve*v / (2*pi*r*c^2*eps0) | F = E * q F = q*v*ve*l0 / (2*pi*r*c^2*eps0) | l0 = dQ / ds F = q*v*ve*dQ / (2*pi*r*c^2*eps0*Ds) | ve = ds / dt F = q*v*dQ / (2*pi*r*c^2*eps0*dt) | I = dQ / dt F = q*v*I / (2*pi*r*c^2*eps0) | B = æ0 * I / (2*pi*r) (B magnetische Flussdichte um einen geraden Leiter) F = q*v*B / (c^2*eps0*æ0) | c^2 = 1/æ0/eps0 F = q*v*B q.e.d. ------------------------------------------------------------------------------ QUANTENPHYSIK ------------------------------------------------------------------------------ Beim Hallwachsversuch wird die Wechselwirkung zwischen Licht und Materie deutlich: (lichtelektrischer Effekt, Fotoeffekt) Bestrahlt man mit einer Hg-Lampe eine negativ geladene Zinkplatte, so verliert diese ihre Ladung sehr schnell. Bestrahlt man Metall mit Licht oberhalb einer bestimmten materialabhaengigen Grenzfrequenz, so loest das Licht aus dem Metall Elektronen, die mit der restlichen Energie beschleunigt werden. Die Zahl der ausgeloesten Elektronen und damit der Strom I ist vom Amplitudenquadrat des Lichts abhaengig. ^ Wkin | der e- / | / Å bis * ist Grenzfrequenz, unterhalb der nichts passiert | / | / | / +---*-----------> Frequenz des Lichts / ¿ / Austrittsarbeit Wa, die zuerst ueberwunden werden muss Ù Die Steigung der Geraden ist materialunabhaengig, sie beschreibt als Wirkungsquantum die entsprechende Energie einer Frequenz: CONST h 6.626176E-34 J*s (Plancksches Wirkungsquantum) Der Energieansatz lautet: Elicht = Ekine + Waustritt h*f = .5*m*v^2 + Wa; Die Energie des Lichts ist proportional zur Frequienz und damit antiproportional zur Wellenlaenge. Die Tatsache, dass Wkin nicht von der Intensitaet des Lichtes abhaengt, widerlegt die Wellentheorie des Lichts. Nach der Lichtquantenhypothese tritt Licht gequantelt in Photonen auf, ein Photon hat die Energie E=h*f; Ueberlegungen fuer Photonen: E = h*f; E = m*c^2; c = lambda*f; => h/lambda = m*c = p; (Impuls der Photonen) m = E/c^2 = h/c/lambda; (Masse der Photonen) Roentgenlicht kann bei Metall ein Elektron ausloesen und selbst dabei energievermindert gestreut werden (Compton-Effekt). Trifft ein Photon auf ein Graphitelektron (Ausloesearbeit bei Graphit ist 0), so kommt es zu einem elastischen Stoss: Das Elektron wird unter dem Winkel alpha weggestossen. Dafuer wird ein Teil der Energie des Lichtquants verbraucht. Der Rest der Energie (') fliegt als Lichtquant mit geringerer Frequenz unter dem Streuwinkel beta weiter. Je groesser beta ist, desto groesser ist der Energieverlust der Strahlung, also desto groesser ist also sein lambda'. (Auch unter dem Streuwinkel beta findet sich allerdings energieunverminderte Strahlung, die an einem festen Elektron gestreut wurde und so keinen Energieverlust hatte.) Berechnungsansatz ist der Impulserhaltungssatz. pe'^2 = pph^2 + pph'^2 - 2*pph*pph'*COS(á); MUL c^2 pe'^2*c^2 = pph^2*c^2 + pph'^2*c^2 - 2*pph*c*pph'*c*COS(á); E = m*c^2 = c*p; pe'^2*c^2 = Eph + Eph' - 2*Eph*Eph'*COS(á); pe'^2*c^2=Ee'^2-Ee^2; (???) Ee'^2 - Ee^2 = Eph + Eph' - 2*Eph*Eph'*COS(á); Eph + Ee = Eph' + Ee'; Ee' = Eph + Ee - Eph'; (??????) Alpha-Strahlung sind Heliumkerne: 2 Protonen und 2 Neutronen; Beta-Strahlung sind schnelle Elektronen; Gamma-Strahlung sind Lichtquanten; Wird von einem Radionuklid statt eines Elektrons ein Positron abgegeben, so lautet die Kernreaktion: A \/ ______\ A \/ Z /\ / Z-1 /\ + e+ + Neutrino; X ist das Element; A ist die Massenzahl (Anzahl der Protonen und Neutronen); Z ist die Ordnungszahl (Anzahl der Protonen); e+ ist ein Positron, m(e+) = m(e-), Q(e+) = -Q(e-); Bei der Paarbildung trifft ein Roentgenquant auf Blei und wandelt sich in ein Elektron und ein Positron um (wie durch ein Magnetfeld und den Bahnen nachzuweisen ist). Die Mindestenergie laesst sich wie folgt berechnen: W = m*c^2; Zu erzeugende Masse m = 2*me; W = 1.638E-13 J; f = W/h; f = 2.47E20 Hz; Die Roentgenbremsstrahlung ist die Umkehrung des Fotoeffekts: Schiesst man Elektronen auf eine Kathode (Lithium-Floridkristall), so gibt diese Roentgenstrahlung ab. Die Strahlung liegt oberhalb einer gewissen Grenzwellenlaenge, wie man mithilfe der Braggreflexion festellen kann. Die maximale Frequenz (Energie) der Roentgenphotonen entsteht durch diejenigen Elektronen, die ihre gesamte kinetische Energie in einem Stoss abgeben: Emax = h*fmax = Wkine; h*fmax = e*U; fmax = e*U/h; Bei der Belichtung eines Filmes durch einen Doppelspalt ergibt sich das bekannte Interferenzbild, jedoch wird der Film nicht gleichartig geschwaerzt, sondern immer nur einzelne Silberkoerner -- die Energie wird quantenhaft absorbiert. Die einzelnen Photonenlokalisationen sind stochastisch unregelmaessig verteilt, formen jedoch mit ihrer Dichte das Interferenzmuster nach. Mit zunehmender Belichtungszeit nimmt die Zahl, nicht aber die Schwaerzung der einzelnen Koerner zu. Treten im Mittel n Photonenlokalisationen von insgesamt N Photonen auf der Flaeche A ein, so definiert man die Wahrscheinlichkeitsdichte rho: rho = n / (N*A); Sie ist ein Mass fuer die Dichte der Photonenlokalisationen und ist zur Bestrahlungsstaerke S = W/A/t proportional und damit auch proportional zum Quadrat der Amplitude. Die einzelnen Photonenlokalisationen sind rein zufaellig, gehorchen jedoch in ihrer grossen Zahl den Interferenzmustern. Beim Doppelspaltversuch laesst man Licht durch einen Doppelspalt fallen und erhaelt das typische Interferenzmuster. Das Verwunderliche jedoch ist, dass man dieses Muster auch erhaelt, wenn man das Licht so weit ausduennt, dass sich nur ein einzelnes Photon in der Apparatur befinden kann. Obwohl dieses Photon nun nach den Gesetzen des Einzelspalts seinen Auftreffort nach einer ganz normalen Gauss-Verteilung hinter dem Einzelspalt waehlen muesste, beruecksichtigt es bei seiner Ortswahl das Interferenzmuster des Doppelspalts. Louis de Broglie vermutete, dass im Umkehrschluss zur Existenz von Photonen einem Strahl von Teilchen eine Welle zugeordnet ist (Materiewelle). Diese Theorie wurde dadurch bestaetigt, dass Elektronen beim Beschuss von duennen Metallfolien aehnliche Phaenomene zeigen wie Roentgenstrahlen (Schiesst man sie auf eine duenne Graphitschicht, so zeigen sich auf einem dahinter liegenden Schirm konzentrische Kreise; auch die Bragg-Reflexion klappt). Die de Broglie-Gleichung lautet: lambda = h/p; Diese Welle laesst sich (in Analogie zu den Photonen) auch als Wahrscheinlichkeitswelle deuten