Zusammenfassung Analysis (c) 2002-07-11 Fabian M. Suchanek http://suchanek.name/texts/summaries/analysis.txt Dieses ist die Zusammenfassung des Kurses "Analysis" von Prof. Spindler an der Universitaet Osnabrueck im SS 2002. Sie lehnt sich stark an das sehr ausfuehrliche Skript. Durch das Weiterlesen akzeptiert der Leser, dass der Autor keinerlei Verantwortung fuer die Richtigkeit oder Vollstaendigkeit dieser Zusammenfassung uebernimmt. Wenn jemand einen Fehler gefunden hat, so waere ich fuer eine Mail dankbar. Nur so habe auch ich etwas von der Veroeffentlichung dieser Zusammenfassung. Meine E-Mail-Adresse ist f.m.suchanek@zweb.de, wobei das 'z' aus der Adresse geloescht werden muss. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Koerper, Zahlen und Mengen ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ siehe auch algebra.txt Menge: Eine ungeordnete Ansammlung nicht identischer Elemente. M = {x(1), x(2), ..., x(n)} ist die Menge dieser Elemente M = {x | f(x) } ist die Menge aller x, fuer die eine Bedingung f(x) gilt Teilmenge: Eine Menge M ist eine Teilmenge einer Menge K, wenn jedes Element von M in K ist. M < K // Das Zeichen '<' wird hier ueberladen und bedeutet zwischen // Mengen "Teilmenge von" Obermenge: Eine Menge M ist eine Obermenge einer Menge K, wenn jedes Element von K in M ist. M > K Schnittmenge: Eine Menge S ist die Schnittmenge zweier Mengen M und K, wenn es die Menge all derjenigen Elemente ist, die sowohl in M als auch in K sind. S = M /\ K. Vereinigung: Eine Menge V ist die Schnittmenge zweier Mengen M und K, wenn es die Menge aller Elemente von K und aller Elemente von M ist. V = M \/ K. Komplement: Das Komplement K einer Menge T in einer Menge M ist die Menge aller Elemente, die in T, nicht aber in M sind. K = M \ T. Tupel: Eine geordnete Ansammlung von Elementen. Paar: Ein zweistelliges Tupel. Kartesisches Produkt: Das kartesische Produkt P zweier Mengen M und K ist die Menge aller Paare mit einem Element aus K und einem Element aus M. P = M * K Mengenpotenzierung: Die Bildung des n-fachen kartesischen Produktes einer Menge mit sich selbst. P = M^n Abbildung: Eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Element einer Definitionsmenge genau ein Element einer Bildmenge zuordnet. Man beachte, dass Abbildungen auch auf Mengen aus Abbildungen definiert sein koennen (die Abbildung ist dann ein "Funktional"). Injektive Abbildung: Eine Abbildung, die nie zwei Elementen dasselbe Element zuordnet. Surjektive Abbildung: Eine Abbildung, die die gesamte Bildmenge erfasst. Bijektive Abbildung: Eine Abbildung, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Verknuepfung: Eine Abbildung aus dem kartesischen Produkt einer Menge X mit sich selbst nach X. Koerper: Eine Menge K mit zwei Verknuepfungen "Addition" und "Multiplikation", sodass die folgenden Forderungen gelten: (K1) + Assoziativitaet: x + (y + z) = (x + y) + z (K2) + Kommutativitaet: x + y = y + x (K3) Existenz einer Null: Ex 0 E K: x + 0 = 0 + x = x. (K4) Existenz des Negativen: All x Ex -x: x + -x = 0 (K5) * Assoziativitaet: x * (y * z) = (x * y) * z (K6) * Kommutativitaet: x * y = y * x (K7) Existenz einer Eins: Ex 1 E K: x * 1 = 1 * x = x. (K8) Existenz des Inversen: All x!=0 Ex x^-1: x * x^-1 = x^-1 * x = 1 (K9) Distributivitaet: (x + y) * z = x * z + y * z x-y := x+(-y) x/y := x*y^-1 Damit gelten die ueblichen Rechenregeln. // "0" wird hier ueberladen und bedeutet je nach Kontext das // Nullelement des jeweiligen Koerpers, analog die "1" kommutativer Ring: Eine Menge K mit zwei Verknuepfungen "Addition" und "Multiplikation", bei der alle Koerperaxiome gelten bis auf (K8). ganze Zahl: Ein Element eines kommutativen Rings, dessen Elemente mit ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... bezeichnet werden, dessen Verknuepfungen die uebliche Addition und Subtraktion sind und dessen Elemente stets die Differenz 1 haben. // (?) Die Menge der ganzen Zahlen wird mit Z bezeichnet. Natuerliche Zahl: Die ganze Zahl 0 oder n+1, wenn n eine natuerliche Zahl ist. Die Menge der natuerlichen Zahlen wird mit N bezeichnet. Rationale Zahl: Ein Element der Menge aller Brueche a/b aus ganzen Zahlen a und b. Die Menge der ganzen Zahlen wird mit Z bezeichnet. Reelle Zahl: Ein Element einer (naemlich der einzigen) Menge R, die * ein Koerper ist * angeordnet ist * archimedisch ist * vollstaendig ist (s.u.) Komplexe Zahl: Ein Element der Menge C=R^2 mit den folgenden Verknuepfungen: (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2) (x1,y1)*(x2,y2)=(x1*x2-y1*y2,x1*y2+y1*x2) Man schreibt auch z=x+y*i und setzt i^2=-1. Realteil: Der Realteil einer komplexen Zahl ist ihre erste Komponente. Re(x+y*i) = x Imaginaerteil: Der Imaginaerteil einer komplexen Zahl ist ihre zweite Komponente. Im(x+y*i) = y Konjugiert komplexe Zahl: Die konjugiert komplexe Zahl einer komplexen Zahl z=x+y*i ist die Zahl ~z=x-y*i. Anordung: Eine Anordnung auf einem Koerper K ist eine Teilmenge K+ von Elementen von K, die positiv genannt werden, wobei folgende Ordnungsaxiome erfuellt sind: (O1) All x: (x E K+) XOR (x = 0) XOR (-x E K+) (O2) x E K+, y E K+ => x+y E K+ (O3) x E K+, y E K+ => x*y E K+ (K, K+) heisst dann "angeordneter Koerper". x > 0 := x E K+ x > y := x-y E K+ x>= y := (x-y E K+) v (x=y) x < y := y > x x =< y := y >= x Damit gelten die ueblichen Ungleichungsregeln. Jeder angeordnete Koerper enthaelt den Koerper der rationalen Zahlen als Unterkoerper. Die komplexen Zahlen sind kein angeordeter Koerper. Archimedisches Axiom: Die Forderung, dass es fuer alle x ein n gibt, sodass n>x. // Interessanterweise kommt es nicht zu einem Type-Mismatch, // da die natuerlichen Zahlen Unterkoeper der rationalen Zahlen // sind und die rationalen Zahlen Unterkoerper jedes angeordneten // Koerpers Archimedisch angeordneter Koerper: Ein Koerper, in dem das archimedische Axiom gilt. Potenzierung: x^0 := 1 x^n := x * x^(n-1) Damit gelten die ueblichen Potenzrechenregeln. Vervielfachung: Wiederholte Addition eines Elementes. 0*x := n*x := (n-1)*x + x fuer alle natuerlichen Zahlen n und alle x eines Koerpers K. Absolutbetrag: Eine Abbildung jedes Elementes x auf |x|, wobei gilt * |x| >= 0 und |x|=0 <=> x=0 * |x*y|=|x|*|y| * |x+y|=<|x|+|y| Auf den reellen Zahlen ist der Betrag definiert als |x| := (x>=0?x:-x) Alternative Schreibweise: |x|=abs(x). Maechtigkeit: Die Maechtigkeit einer Menge M ist die Anzahl n iher Elemente. n = |M| // Auch die Betragsstriche werden hier ueberladen Quadratwurzel: Die Quadratwurzel einer positiven Zahl a ist diejenige positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert a ergibt: SQRT(x) = y := y*y = x Summenzeichen: Das grosse Sigma. SUM i=j..j a(i) := a(j) SUM i=j..k a(i) := a(k) + SUM i=j..k-1 a(i) SUM i=j..k a(i) mit j>k := 0 Produktzeichen: Das grosse Pi. PROD i=j..j a(i) := a(j) PROD i=j..k a(i) := a(k) * PROD i=j..k-1 a(i) PROD i=j..k a(i) mit j>k := 1 Euklidische Norm: ||x|| := SQRT(SUM i=1..n x(i)*x(i)) fuer ein n-Tupel x=(x(1),x(2),...x(n)). Damit ist ||x||=|x| fuer ein reelles x. Ausserdem wird so der Betrag einer komplexen Zahl definiert: |x| := ||x|| fuer x E C. Fakultaet von n: Das Produkt aller natuerlichen Zahlen bis n. n! := PROD k=1..n k Die Fakultaet gibt die Anzahl der Moeglichkeiten, n Elemente anzuordnen. Binomialkoeffizient von n und k: bin(n,k) := PROD j=1..k (n-j+1)/j Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Moeglichkeiten, aus einer n-elementigen Menge eine k-elementige Teilmenge auszuwaehlen. Vollstaendige Induktion: Beweisverfahren fuer eine Aussage A(n) fuer alle n>n0 nach dem folgenden Muster: 1. Induktionsanfang, n=n0: Beweis von A(n0) 2. Induktionsschluss, n->n+1: Beweis von A(n) => A(n+1) // In algebra.txt noch in 4-Schritten ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Folgen ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Folge: Eine Abbildung von den natuerlichen Zahlen in eine (Bild-) Menge X, die jedem n E N ein a(n) E X zuordnet. Fuer die Folge als Ganzes schreibt man a(n)nEN Konvergenz: a(n)nEN konvergent := Ex a All eps E R Ex N(eps) E N: |a-a(n)| 0 und ein a E R heisst Ueps(a) := { x E R | ||a-x|| < eps } die offene eps-Umgebung von a. Umgebung: Eine Teilmenge U von R^n heisst Umgebung von a, wenn es ein eps > 0 gibt, sodass Ueps(a) c. Beschraenkte Folge: Eine komplexe Folge a(n)nEN heisst beschraenkt, wenn es ein c gibt, sodass All n E N: |a(n)| =< c. Jede konvergente Folge ist beschraenkt. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Reihen ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Partialsumme: Summe der ersten n Glieder einer Folge a(n)nEN s(n) := SUM k=n0..n a(k) Unendliche Reihe: Eine Folge, deren Glieder die Partialsummen einer Folge a(n)nEN sind. INFSUM a(k) := s(n)nEN mit s(n) = SUM k=n0..n a(k) Die Reihe konvergiert gegen a, wenn s(n)nEN gegen a konvergiert. Der Grenzwert a der Reihe wird ebenfalls mit INFSUM a(k) bezeichnet: INFSUM a(k) := lim s(n) fuer konvergentes s(n) Konvergiert INFSUM a(k), so gilt lim a(k) = 0. // Beginnt die Reihe nicht bei 1, so wird hier der Startindex dazu // geschrieben, z.B. INFSUM0 a(k). Partialbruchzerlegung: Die Umwandlung eines Bruches der Form x/y/z in die Form a/y + b/z. Cauchy-Folge: Eine Folge a(n)nEN, bei der gilt: All eps>0 Ex n0 E N All n>n0 All m>n0: |a(n)-a(m)|a(n+1) * streng monoton fallend, wenn gilt: All n: a(n)>=a(n+1) Eine Folge heisst monoton, wenn sie monoton wachsend oder monoton fallend ist. Jede beschraenkte monotone Zahlenfolge ist konvergent. Wurzel: Die k-te Wurzel einer positiven reellen Zahl a ist diejenige positive Zahl x, die k-mal mit sich selbst multipliziert a ergibt. a^(1/k) = x := x^k = a. Die k-te Wurzel existiert immer und ist eindeutig. Sie kann durch Iteration x(n) = h(x(n-1)) berechnet werden, wobei h(x) = ((k-1)*x+a/x^(k-1))/k. Konvergenzkriterium fuer Reihen mit positiven Gliedern: Gilt a(k)>=0, so konvergiert INFSUM a(k) genau dann, wenn die Folge der Partialsummen s(n) beschraenkt ist. Dann naemlich ist s(n)nEN monoton steigend und beschraenkt und damit konvergent. Leibnitz-Konvergenzkriterium fuer Reihen: Ist a(k)kEN monoton fallend und lim a(k)=0, so ist INFSUM (-1)^k * a(k) konvergent. Absolute Konvergenz: Eine Reihe INFSUM a(k) heisst absolut konvergent, wenn die Reihe ihrer Absolutbetraege INFSUM |a(k)| konvergiert. Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. Majorante: Eine Majorante einer Reihe INFSUM a(k) ist eine Reihe INFSUM b(k), sodass |a(k)|N gibt, sodass b(n)=a(t(n)) fuer alle n. Umordnungssatz: Ensteht INFSUM b(k) durch Umordnung aus der absolut konvergenten Reihe INFSUM a(k), so ist auch INFSUM b(k) konvergent mit INFSUM b(k) = INFSUM a(k). Exponentialreihe: Die Reihe INFSUM0 z^k/k!. Sie ist fuer alle komplexen Zahlen z absolut konvergent. exp(z) := INFSUM0 z^k/k! heisst die komplexe Exponentialfunktion Es gilt exp(x+y) = exp(x) * exp(y) und damit exp(-x) = exp(x)^-1 und exp(x) != 0 Ausserdem gilt exp(z) = lim (1+z/n)^n Exponentialreihenabschaetzung: Wird exp(z) durch eine Partialsumme approximiert, so gilt fuer den Fehler |exp(z) - SUM k=0..n z^k/k!| < 2*|z|^(n+1)/(n+1)! falls |z| =< 1+n/2 Eulerische Zahl: e := exp(1) = INFSUM0 1/k! e ist nicht rational. Es gilt: e^n = exp(n) Cauchy-Produkt unendlicher Reihen: Sind INFSUM c(k) und INFSUM d(k) absolut konvergent mit den Grenzwerten c und d, so konvergiert die unendliche Reihe INFSUM SUM j=0..k c(j)*d(k-j) absolut gegen c*d. Unendlich: Ein Symbol INF mit folgenden Eigenschaften: 1. All x E R: x!= INF => x < INF 2. All x E R: x!= -INF => x + INF = INF + x = INF 3. All x E R, x>0: x*INF = INF*x = INF All x E R, x<0: a*INF = INF*a = -INF 0*INF = INF*0 = 0 Mit "R quer" (hier: R) bezwichnet man die Menge R, erweitert um INF und -INF. Kommen in einem Ausdruck INF und -INF vor, so gilt das Assoziativgesetz nicht mehr! Bei komplexen Zahlen gibt es nur ein einziges INF, da man sich die komplexen Zahlen auf der Riemannschen Zahlenkugel vorstellt. Uneigentliche Konvergenz: Eine Folge a(n)nEN konvergiert uneigentlich gegen INF, wenn gilt: All c E R Ex n0 E N All n>n0: a(n)>c Man schreibt lim a(n) = INF Entsprechendes gilt fuer uneigentliche Konvergenz gegen -INF. Intervall: Eine Teilmenge J von R, fuer die es zwei reelle Zahlen a und b ,a=< b gibt, sodass J={x E R | a=< x =< b} Man schreibt [a,b] := J Soll eine Intervallgrenze nicht dazu gehoeren, so schreibt man eine runde statt einer eckigen Klammer an der entsprechenden Seite oder dreht die eckige Klammer nach aussen. Reelles Intervall: Ein Intervall, welches Teilmenge von R \ {INF,-INF} ist. Beschraenkte Menge: Eine Menge, fuer die es eine positive reelle Zahl c gibt, sodass X < {x | ||x||=X gibt. D.h. die Elemente von X lassen sich durchnummerieren. N, Z und Q sind abzaehlbar unendlich. Ueberabzaehlbare Menge: Eine unendliche Menge, die nicht abzaehlbar ist. R und C sind ueberabzaehlbar. Cantorscher Diagonalsatz: Ist X(n)nEN eine Folge abzaehlbar unendlicher Menge, so ist auch die diskjunkte Vereinigung X = UNION {n}*X(n) abzaehlbar. Supremum: Die kleinste obere Schranke einer Menge. D.h. wenn a obere Schranke von X ist 1. All x E X: x =< a 2. All b: (b < a => (Ex x E X: b= (sup X E X) Minimum: Ein Element m einer Menge X, fuer das gilt All x E X: x >= m min X := m (inf X = min X) <=> (inf X E X) Limes superior: Der Limes superior einer reellen Folge a(n)nEN ist die kleinste obere Schranke im Unendlichen: limsup a(n) = lim (sup { a(k) | k>= n }) Limes inferior: Der Limes inferior einer reellen Folge a(n)nEN ist die groesste untere Schranke im Unendlichen: liminf a(n) = lim (inf { a(k) | k>= n }) Limiten der Haeufungspunkte: Ist X die Menge aller Haeufungspunkte einer beschraenkten reellen Folge a(n)nEN, so gilt liminf a(n) = inf X = min X limsup a(n) = sup X = max X Haeufungspunkt: a E R^n heisst Haeufungspunkt einer Teilmenge X < R^n, wenn gilt: All eps: Ueps(a) /\ X > {a} D.h. in der Naehe von a liegen unendlich viele ander Punkte. // Diese Definition eines Haeufungspunktes widerspricht der obigen! // Hiernach ist naemlich -1 kein Haeufungspunkt der Punktmenge // von a(n)=(-1)^n, weil diese {-1,1} ist. (?) Beruehrungspunkt: a E R^n heisst Beruehrungspunkt einer Teilmenge X < R^n, wenn gilt: All eps: Ueps(a) /\ X != {} D.h. jedes x E X ist ein Beruehrungspunkt und ausserdem auch die "Grenzen" von X, wenn X diesen Grenzen unendlich nah kommt. Die Menge aller Beruehrpunkte von X wird mit "X quer" bezeichnet und ist stets eine Teilmenge von X. Isolierter Punkt: a E R^n heisst isolierter Punkt einer Teilmenge X < R^n, wenn gilt: Ex eps>0: Ueps(a) /\ X = {a} D.h. a ist in X und ist kein Haeufungspunkt. Innerer Punkt: a E R^n heisst innerer Punkt einer Teilmenge X < R^n, wenn gilt: Ex eps>0: Ueps(a) < X D.h. a ist richtig in X und keine "Grenze". Die Menge aller inneren Punkte wir mit "X Kringel" bezeichnet. Die Menge aller inneren Punkte von Q ist leer, da um jedes q E Q immer reelle Zahlen liegen. Abgeschlossene Menge: Eine Menge X, bei der alle Beruehrpunkte (und damit alle Haeufungspunkte) in X liegen. D.h. die "Grenzen" gehoeren mit dazu, X = Xquer X < R^n ist genau dann abgeschlossen in R^n, wenn R^n \ X offen in X ist. Der Durchschnitt und die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. Offene Menge: Eine Menge, die nur aus inneren Punkten besteht. D.h. die "Grenzen" gehoeren nicht dazu. Mengen koennen offen, geschlossen, offen und geschlossen (z.B. R) oder weder offen noch geschlossen sein. Der Durchschnitt und die Vereinigung endlich vieler offener Mengen ist offen. Dichte Menge: Eine Menge X < R^n heisst dicht, wenn Xquer=R^n gilt. Cantorscher Durchschnittssatz: Ist X(n)nEN eine Folge beschraenkter abgeschlossener nichtleerer Teilmengen von R^n, wobei X(k) > X(k+1), dann gilt: INTERSECTION X(k) != {} // Wenn ich eine Folge von Mengen habe, wobei jede alle folgenden // einschliesst, dann gibt es mindestens ein Element, welches in // allen liegt. Ist das nicht trivialerweise dasjenige Element, // welches auch in der "letzten" Menge drin ist (?) Kompakte Menge: Eine Menge X < R^n, die sowohl abgeschlossen als auch beschraenkt ist. D.h. jede Folge a(n) in X besitzt eine Teilfolge, die gegen ein Element von X konvergiert. (Ueberdeckungssatz von Heine-Borel:) D.h. ist zu Punkt x E X eine offene Menge U(x) mit x E U(x) gegeben, so kann man X mit einer endlichen Anzahl dieser Mengen abdecken ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Funktionen ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Funktion: Eine Abbildung. Verkettung, Komposition: Eine Abbildung von 2 Funktionen in eine neue, die dadurch entsteht, dass die Eingabe zuerst der zweiten Funktion vorgeworfen wird und deren Ergebis dann der ersten Funktion. (f o g)(x)=f(g(x)) Umkehrfunktion: Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion ist diejenige Funktion, die jedem Bildelement ihr zugehoeriges Element der Definitionsmenge zuordnet. Man schreibt f^-1. Graph: Der Graph einer Abbildung f ist die Menge aller (x,f(x))-Tupel. Da eine Abbildung eindeutig ist, ist eine Teilmenge ({x} * B) /\ R des Graphen R einelementig (wenn B die Bildmenge ist). Vektorraum der Funktionen: Die Menge aller Funktionen mit vorgegebener Definitions- und Bildmenge mit den Verknuepfungen (f+g)(x) := f(x)+g(x) und (a*f)(x) := a*(f(x)). Das Produkt zweier Funktionen wird ebenfalls definiert: (f*g)(x) := f(x)*g(x). Die Menge aller Funktionen in die Bildmenge B wird mit FR(B) oder F(R) bezeichnet, die Menge aller komplexen Funktionen mit FC(B). x->1 ist das Einselement, x->0 das Nullelement, damit ist F(B) ein kommutativer Ring mit 1. Nullstelle: Eine Nullstelle einer Funktion f ist ein x, sodass f(x)=0. Polynomfunktion: Eine Funktion f, zu der es a(0),...a(n) gibt, sodass f(x)=SUM i=0..n a(i)*x^i fuer alle x ist. n heisst "Grad der Funktion". Eine solche Funktion hat hoechstens n Nullstellen. Ein Polynom ungeraden Grades hat mindestens 1 Nullstelle. Fuer diese Nullstellen a gilt: f(x)=g(x)*(x-a) mit geeignetem g fuer alle x. Bildet man g=1/f in den komplexen Zahlen, so setzt man g(x)=INF fuer alle x mit f(x)=0. Die Menge aller Polynomfunktionen auf R wird mit P(R) bezeichnet. Rationale Funktion: Eine reelle Funktion f, zu der es zwei reelle Polynomfunktionen p und q gibt, sodass f(x)=p(x)/q(x) fuer alle x und q(x)!=0 fuer alle x der Definitionsmenge von f. Die Menge aller Rationalen Funktionen auf R wird mit R(R) bezeichnet. Mit den ueblichen Verknuepfungen ist R(R) ein Koerper, der R als Unterkoerper enthaelt. Polstelle: Eine Polstelle einer rationalen Funktion f=p/q ist ein x mit q(x)=0. Eine komplexe rationale Funktion kann an den Polstellen x durch f(x)=INF fortgesetzt werden. Grenzwert einer Funktion: Der Grenzwert einer Funktion f (fuer x gegen a) ist derjenige Wert c, fuer den folgendes gilt: Fuer jede Folge a(n)nEN in der Definitionsmenge von f mit lim a(n)=a ist auch die Bildfolge f(a(n)) konvergent und es ist lim f(a(n))=c. c ist damit ein Beruehrpunkt der Bildmenge von f. Geschrieben: lim x->a f(x)=c Man sagt: Fuer x gegen a konvergiert f gegen c. Rechtsseitiger Limes: Der Wert, gegen den eine reelle Funktion fuer x gegen a, x>a konvergiert. Hier geschrieben: lim x>a f(x) Linksseitiger Limes: Der Wert, gegen den eine reelle Funktion fuer x gegen a, xC heisst stetig in a E X, wenn der Grenzwert lim x->a f(x) existiert und gleich f(a) ist. D.h. fuer alle gegen a konvergierenden Folgen a(n)nEN in X konvergiert die Bildfolge f(a(n))nEN gegen f(a). f heisst stetig auf X, wenn f in jedem Punkt x E X stetig ist. Die Menge aller reellen stetigen Funktionen auf X wird mit CR(X) oder C(R) bezeichnet, die Menge aller komplexen stetigen Funktionen mit CC(X). Sind f und g zwei in a stetige Funktionen, so sind auch f+g, f*g f/g (falls g(a)!=0), f(g), f^-1 und c*f stetig in a. Damit ist C(X) ein Untervektorraum von F(X). Damit sind rationale Funktionen auf ihrem Definitionsbereich stetig. eps-delta-Satz: Eine Funktion f ist genau dann stetig a, wenn es zu jedem eps>0 ein delta>0 gibt, sodass fuer alle x E Udelta(a) f(x) E Ueps(f(a)) gilt. Nullstellensatz: Ist eine Funktion f auf [a,b] stetig und ist sgn(f(a))!=sgn(f(b)), so hat sie eine Nullstelle c E [a,b]. Zwischenwertsatz: Ist eine Funktion f auf [a,b] stetig und ist c E [f(a),f(b)], so existiert ein x mit f(x)=c. beschraenkte Funktion: Eine Funktion, deren Bildmenge beschraenkt ist. Die Menge der beschraenkten Funktionen f:X->R heisst B(X). Kompaktheitssatz: Ist f:X->R stetig und X kompakt, so ist auch die Bildmenge f(X) kompakt und es gibt p,q E X, sodass f(p)=sup f(X) und f(q)=inf f(X). Die Funktion nimmt also ihr Maximum und Minimum an und ist beschraenkt. Gleichmaessige Stetigkeit: Eine Funktion f:X->R heisst gleichmaessig stetig, wenn es zu jedem eps>0 ein delta>0 gibt, sodass f(x') E Ueps(f(x)) fuer alle x' E Udelta(x) fuer alle x. Jede gleichmaessig stetige Funktion ist stetig. Jede Funktion f:X->R ist gleichmaessig stetig, wenn X kompakt ist. Stetigkeitsmodul: Eine Funktion N(f):R->R, die jedem delta die maximale Differenz zweier Funktionswerte von f zuordnet, wenn die zugehoerigen x-Werte maximal delta weit voneinander entfernt liegen. f ist gleichmaessig stetig, wenn lim delta->0 N(f)(delta)=0. Monotonie einer Funktion: Eine reelle Funktion f heisst * monoton wachsend, wenn gilt: All x All x'>x: f(x)=x: f(x)x: f(x)>=f(x') * streng monoton fallend, wenn gilt: All x All x'>x: f(x)>=f(x') Eine Funktion heisst monoton, wenn sie monoton wachsend oder monoton fallend ist. Ist eine Funbtion f:[a,b]->R strng monoton wachsend, so ist f([a,b])=[f(a),f(b)], f ist bijektiv und f^-1 ebenfalls streng monoton. Einschraenkung: Ist f:X->Y und [a,b] < X, so ist f|[a,b] := (f:[a,b]->Y). ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ EXP, LOG und Trigonometrie ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Logarithmus: Die Umkehrfunktion zu exp. Sie ist ebenfalls streng monoton steigend und stetig und fuer alle x>0 definiert. x = log(y) := exp(x)=y Damit gelten die ueblichen Logarithmengesetze // Es handelt sich um den natuerlichen Logarithmus LN(x) Allgemeine Potenz: a^x := exp(x*log(a)) Damit gelten die ueblichen Potenzrechenregeln, auch fuer reelle Zahlen. Fuer jede Funktion f, die die Gleichung f(x+y)=f(x)*f(y) erfuellt und bei der f(1)>=0 ist, gilt f(x)=f(1)^x. Cosinus: Die stetige Funktion cos:R->R mit cos(x) = Re(exp(i*x)). Es lassen sich die bekannten Eigenschaften des Cosinus nachweisen. Sinus: Die stetige Funktion sin:R->R mit sin(x) = Im(exp(i*x)). Es lassen sich die bekannten Eigenschaften des Sinus nachweisen. gerade Funktion: Eine Funktion f mit f(x)=f(-x). Der Graph dieser Funktionen ist symmetrisch zur Y-Achse, wie x^2. ungerade Funktion: Eine Funktion f mit f(x)=-f(-x). Der Graph dieser Funktionen ist symmetrisch zum Ursprung, wie x^3. Restgliedabschaetzung: Eine Abschaetzung fuer den Fehler, der entsteht, wenn man eine Funktion, die durch eine unendliche Reihe gegeben ist, durch eine Partialsumme approximiert. Pi: Die eindeutig bestimmte Zahl, sodass cos(pi/2)=0. Tangens: Die stetige Funktion tan:R\{x|x=pi/2+pi*n}->R mit tan(x)=sin(x)/cos(x). Es lassen sich die bekannten Eigenschaften des Tangens nachweisen. Arcussinus: Die Umkehrfunktion des Sinus arcsin:[-1;1]->[-pi/2;pi/2]. Arcuscosinus: Die Umkehrfunktion des Cosinus arccos:[-1;1]->[0;pi]. Arcustangens: Die Umkehrfunktion des Tangens arctan:R->[-pi/2;pi/2]. Argument: Das Argument einer komplexen Zahl z ist diejenige (auf 2-pi-faches eindeutige) Zahl phi=arg(z), sodass gilt: z = |z|*exp(i*phi). Polarkoordinaten: Die Polarkoordinaten einer komlexen Zahl z sind das Paar aus |z| und arg(z). ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Differentialrechnung ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Differenzenquotient: Der Bruch (f(x)-f(s))/(x-s) fuer eine Funktion f:X->R und einen Wert s aus X. Er beschreibt die Steigung einer Geraden durch den Graphen der Funktion an den Stellen a und x. Naehert sich s dem x, so wird aus der "Sekante" eine "Tangente". Deren Steigung ist dann die Steigung des Funktionsgraphen im Punkt x und wird durch die Ableitung f'(x) angegeben. Ableitung, erste Ableitung: Die Ableitung einer Funktion f:X->R in x ist der Grenzwert f'(x) := lim s->a, s E X\{a} (f(s)-f(x))/(s-x). Damit ist die Ableitung von f eine Funktion f':X->R. Andere Bezeichnungen: f' = df/dx ("d f nach d x") f'(x) = df/dx(x) = df/dx | x=x0 f' = D(f) der Ableitungsoperator D:(f:X->R)->(f':X->R) f'(x) = D(f)(x) Damit lassen sich die ueblichen Ableitungsregeln herleiten. Die Ableitung in einem Punkt x0 existiert genau dann, wenn * f stetig ist * es eine Funktion d:X->R gibt mit f(x)=f(x0)+d(x)*(x-x0) Dann ist d(x0)=f'(x0). Aehnlich: f(x)=f(x0)+f'(x)*(x-0)+phi(x)*(x-x0) Hier ist phi(x)*(x-x0) der Fehler, der entsteht, wenn f(x) durch f(x0) und die Ableitung approximiert wird. Die Ableitung einer komplexen Funktion f:R->C ist f'=D(Re(f)) + i*D(Im(f)). k-te Ableitung: Die Ableitung der (k-1)-ten Ableitung. Man schreibt D^k(f). differenzierbar, einmal differenzierbar: Eine Funktion f:X->R heisst differenzierbar in x, wenn der Grenzwert lim s->x, s E X\{x} (f(s)-f(x))/(s-x) existiert. x muss dafuer ein Haeufungspunkt in X sein. Eine komplexe Funktion ist differnzierbar, wenn ihr Real- und ihr Imaginaer-Teil es sind. k-mal differenzierbar: Eine Funktion f:X->R heisst k-mal differenzierbar, wenn f (k-1)-mal differenzierbar ist und die (k-1)-te Ableitung differenzierbar ist. k-mal stetig differenzierbar: Eine Funktion f:X->R heisst k-mal stetig differenzierbar, wenn f k-mal differenzierbar ist und die k-te Ableitung stetig ist. Die Menge aller k-mal stetig differenzierbaren Funktionen f:X->R wird mit C^k(X) bezeichnet. C^0(X) ist die Menge der stetgigen Funktionen auf X. C^INF(X) ist die Menge aller beliebig oft stetig differenzierbaren Funktionen. Notation: D^k(f) = (d/dx)^k f = d^k/dx^k f = (D o D^(k-1))(f) C^k(X) ist ein Untervektorraum von F(X) Differentialgleichung: Eine Gleichung, in der nach einer Funktion gesucht ist, die in mehreren Ableitungen auftaucht. Beispiel: f=f' Loesung: f=exp, die Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung. Beispiel: f'(x) = c*f(x), f(0)=y0 Loesung: f(x)= y0 * exp(c*x) fuer eine bestimmt Konstante c lokales Minimum, Minimum: Eine Stelle x0 E X einer Funktion f:X->R, fuer die es eine Umgebung gibt, in der fuer alle darin liegenden x f(x)>=f(x0) gilt. lokales Maximum, Maximum: Eine Stelle x0 E X einer Funktion f:X->R, fuer die es eine Umgebung gibt, in der fuer alle darin liegenden x f(x)=R, fuer die es eine Umgebung gibt, in der fuer alle darin liegenden x f(x)R, fuer die es eine Umgebung gibt, in der fuer alle darin liegenden x f(x)>f(x0) gilt. Das ist aequivalent zu: f'(x0)=0 & f''(x0)<0. Mittelwertsatz: Ist f:[a,b]->R differenzierbar, so gibt es ein x aus [a,b] mit f'(x)=(f(b)-f(a))/(b-a). Daraus folgt: Ist f'(x)=0 fuer alle x, so ist f konstant. Monotonie und Ableitung: f:X->R ist monoton genau dann, wenn f'(x)>=0 fuer alle x aus X oder f'(x)=<0 fuer alle x aus X. Im ersten Fall ist die Funktion monoton steigend, im zweiten monoton fallend. Strenge Monotonie und Ableitung: f:X->R ist streng monoton genau dann, wenn f'(x)>=0 fuer alle x aus X oder f'(x)=<0 fuer alle x aus X und man zusaetzlich zwischen zwei beliebigen Stellen immer eine Stelle x findet, an der f'(x)!=0. Wenn also z.B. f'(x)>0 gilt, ist die Funktion somit streng monoton steigend. Konvexe Funktion: Eine Funktion f:X->R heisst konvex, wenn fuer alle a,b aus X und fuer alle t aus [0;1] gilt: f(t*a+(1-t)*b) =< t*f(a) + (1-t)*f(b) Haelt man a und b fest und laesst t von 0 nach 1 laufen, so durchlaeuft t*a+(1-t)*b alle x zwischen a und b. t*f(a)+(1-t)*f(b) durchlaeuft linear alle Werte zwischen f(a) und f(b). Diese Gleichung bedeutet also: f(x) liegt immer unterhalb der Geraden zwischen (a;f(a)) und (b;f(b)). Es handelt sich um eine Linkskurve. f ist genau dann konvex, wenn die zweite Ableitung nicht negativ ist. Konkave Funktion: Eine Funktion f:X->R heisst konkav, wenn fuer alle a,b aus X und fuer alle t aus [0;1] gilt: f(t*a+(1-t)*b) >= t*f(a) + (1-t)*f(b) f(x) liegt immer oberhalb der Geraden zwischen (a;f(a)) und (b;f(b)). Es handelt sich um eine Rechtskurve. f ist genau dann konkav, wenn die zweite Ableitung nicht positiv ist. p-Norm: Die p-te Wurzel aus der Summe aller mit p potenzierten Komponenten eines komplexen Tupels. p muss groessergleich 1 sein. ||x||p = (SUM i=1..n x[i]^p)^(1/p) Es gilt: * ||x||p >= 0 und ||x||p = 0 <=> x = 0 * ||c*x||p = |c|*||x||p fuer alle c aus C * ||x+y||p =< ||x||+||y|| (Dreiecksungleichung) Fixpunkt: Eine Stelle eine Funktion f mit f(x)=x. Jede Funktion f:[a,b] -> [a,b] besitzt mindestens einen Fixpunkt. kontrahierende Abbildung: Eine Abbildung f:X->X, bei der ein q aus ]0;1[ gibt, sodass fuer alle x,y gilt: |f(x)-f(y)| =< q*|x-y|. X muss dazu abgeschlossen sein. Das heisst, dass die Ableitung f' durch q beschraenkt ist. Jede kontrahierende Abbildung besitzt genau einen Fixpunkt. Fixpunktsatz: Den Fixpunkt einer kontrahierenden Abbildung kann man mit beliebigen Startwert a(0) durch Iteration von a(n) = f(a(n-1)) approximieren. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Integralrechnung ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Treppenfunktion: Eine Funktion f:X->R , zu der es eine Zerlegung von X in aneinander grenzende offene Intervalle gibt, sodass f auf jedem dieser Intervalle konstant ist. Die Funktionswerte an den Intervallgrenzen koennen beliebig sein. Die Menge der Treppenfunktionen auf X wird mit T(X) bezeichnet und ist ein Untervektorraum der reellen Funktionen auf X. Integral einer Treppenfunktion: Die Summe aller Produkte aus Intervalllaengen mit jeweiligem Funktionswert. Ist f die Treppenfunktion und sind ]t(i),t(i+1)[ die Intervalle, so gilt: I(f) = INTEGRAL t(0)->t(n) f(x)dx = SUM i=1..n f( (t(i+1)-t(i))/2 ) * (t(i+1)-t(i)) Damit gilt: * I(a*f+b*g) = a*I(f) + b*I(g) fuer zwei Treppenfunktionen f, g * I(f)>=0 fuer f>=0 Das Integral kann damit als Flaecheninhalt unter dem Grpahen der Funktion gesehen werden, wobei Flaechen unterhalb der x-Achse als negativ gezaehlt werden. Oberintegral: Das Oberintegral einer Funktion f ist das Infimum aller Integrale von Treppenfunktionen g mit g >= f. Unterintegral: Das Unterintegral einer Funktion f ist das Supremum aller Integrale von Treppenfunktionen g mit g =< f. Riemann-integrierbar, integrierbar: Eine Funktion heisst integrierbar, wenn Ober- und Unterintegral uebereinstimmen. Eine beschraenkte Funktion f ist genau dann integrierbar, wenn es fuer alle epsilon > 0 zwei Treppenfunktionen g und h gibt, sodass I(g-h)b f(x)dx = INTEGRAL a->b (f|[a,b])(x) dx Ist f stetig, f>=0, I(f)=0, so ist f=0. Man setzt: INTEGRAL a->b f(x)dx = - INTEGRAL b->a f(x)dx falls a>b INTEGRAL a->b f(x)dx = 0 falls a=b positiver Anteil: Der positive Anteil einer Funktion f:X->R ist eine Funktion f+:X->R+ mit f+(x)=max(f(x),0). negativer Anteil: Der negative Anteil einer Funktion f:X->R ist eine Funktion f-:X->R+ mit f-(x)=-min(f(x),0)=(-f)- . Es gilt: f = f+ - f-; |f| = f+ + f- Ist f integrierbar, so sind es auf f+ und f-, ebenso |f|^p fuer eine reelle Zahl p>=1 und f*g. Mittelwertsatz der Integralrechnung: Sind f und g stetige Funktionen auf einer Menge X und g>=0, so gibt es ein x0 aus X, sodass gilt: INTEGRAL a->b f(x)*g(x)dx = f(x0)*INTEGRAL a->b g(x0)dx Fuer g=1 also: INTEGRAL a->b f(x)dx = f(x0)*(b-a). Riemannsche Summe: Ist f:X->R beschraenkt und ist Z=(z1,...zn) eine Zerlegung von X und S=(s1,...sn) eine Menge von zwischenstellen mit s[i] aus [z[i-1],z[i]], so heisst SUM(f,Z,S) = SUM i=1..n f(s[i])*(z[i]-z[i-1]) die Riemannsche Summe von f bezueglich (Z,S). Ist f integrierbar, so gibt es fuer alle epsilon > 0 ein d, sodass aus z[i]-z[i-1]b f(x)dx-SUM(f,Z,S)|INF (z[k][i]-z[k][i-1]) = 0 fuer alle i, und ist S[k] eine Menge von Zwischenstellen zu Z[k], so gilt: INTEGRAL a->b f(x)dx = lim k->INF SUM(f,Z[k],S[k]). Lp-Norm: Ist f:X->R integrierbar und p>=1 so heisst ||f||p = INTEGRAL a->b |f(x)|^p dx|^(1/p) die Lp-Norm von f. L2-Skalarprodukt: Sinf f,g:X->R integrierbar, so heisst := INTEGRAL a->b f(x)*g(x) dx das L2-Skalarprodukt von f und g. Es handelt sich also um ein Skalarprodukt auf dem Vektorraum C0(X) mit der L2-Norm ||f||2= SQRT(). Stammfunktion: Ist f:[a,b]->R integrierbar, so ist F eine Stammfunktion von f, wenn gilt: F'=f. Jede Stammfunktion ergibt sich durch Addition einer Konstanten aus jeder einer anderen Stammfunktion: {G:X->R | G'=f} = {F+c | c E R} Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung: Ist f:[a,b]->R stetig, so ist F:[a,b]->R, F(x)=INTEGRAL a->b f(t) dt eine Stammfunktion von f. Mithin: f(x)=f(a) + INTEGRAL a->x f(t) dt Wertedifferenz: Ist f:X->R eine Funktion und a,b aus X, so setzt man f|a->b := f(b)-f(a) Unbestimmtes Integral: Ein Integral ohne Angabe von Grenzen "a->b". Substitutionsregel: Ist f:X->R stetig und g:[a,b]-> stetig differenzierbar mit [a,b] =< X, so gilt: INTEGRAL a->b f(g(x))*g'(x) dx = INTEGRAL g(a)->g(b) f(x) dx Partielle Integrationsregel: Sind f,g:[a,b]->R stetig differenzierbare Funktionen, so gilt: INTEGRAL a->b f(x)*g'(x) dx = f(x)*g(x) - INTEGRAL a->b f'(x)*g(x) dx Uneigentlich integrierbare Funktion: * Eine Funktion f:[a,b[->R, fuer die lim o->b INTEGRAL a->o f(x)dx existiert. * Eine Funktion f:]a,b]->R, fuer die lim o->a INTEGRAL o->b f(x)dx existiert. * Eine Funktion f:]a,b[->R, fuer die es ein c gibt, sodass f:]a,c]->R und f:[c,b[->R uneigentlich integrierbar sind * Eine Funktion f:[a,INF[->R, fuer die lim o->INF INTEGRAL a->o f(x)dx existiert. * Eine Funktion f:]-INF,b]->R, fuer die lim o->-INF INTEGRAL o->b f(x)dx existiert. Uneigentliches Integral: Der Grenzwert des Integrals einer uneigentlich integrierbaren Funktion. Man setzt als Grenze am Integralzeichen dabei die Zahl, gegen die der Limes laeuft. Integral-Konvergenzkriterium fuer Reihen: Ist f:[1,INF[->R+ und a(n)=f(n), so konvergiert INFSUM a(k) genau dann, wenn das uneigentliche Integral INTEGRAL 1->INF f(x) dx existiert. Zeta-Reihe: Die Reihe INFSUM 1/k^a. Sie konvergiert fuer alle a>1. Gamma-Funktion: Die Funktion G:]0,INF[ -> ]0,INF[ mit G(x) = INTEGRAL 0->INF t^(x-1)*e^-t dt. Sie ist fuer alle x definiert, da das Integral stets existiert. Es gilt: G(x+1)=x*G(x), G(1)=1, und damit G(n)=(n-1)! fuer alle n E N. Ausserdem gilt: G(a*x+b*y)=Y)nEN eine Folge von Funktionen und f:X->Y eine Funktion, so konvergiert f(n) punktweise gegen f, wenn fuer alle x aus X f(n)(x) gegen f(x) konvergiert. Man schreibt lim n->INF f(n)=f. Gleichmaessige Konvergenz einer Funktionenfolge: Ist (f(n):X->Y)nEN eine Folge von Funktionen und f:X->Y eine Funktion, so konvergiert f(n) gleichmaessig gegen f, wenn es zu jedem epsilon>0 ein N gibt, sodass |f(n)(x)-f(x)|N fuer alle x aus X. Dies impliziert punktweise Konvergenz. Konvergiert f(n) gleichmaessig gegen f und sind die f(i) stetig, so ist auch f stetig. Supremumsnorm: Der Wert ||f||X := sup { |f(x)| | X aus X } einer Funktion f:X->C. Weierstrasssches Konvergenzkriterium: Ist f(n):X->C eine Folge von Funktionen mit INFSUM ||f(k)||X < INF, so konvergieren INFSUM f(k) und INFSUM |f(k)|. Potenzreihe: Die Reihe INFSUM c(k)*(z-a)^k, wobei (c(n))nEN eine Folge ist. Die Potenzreihe kann als Funktion von z bei konstantem a aufgefasst werden: f(z)=INFSUM c(k)*(z-a)^k. Konvergenz der Potenzreihe: Konvergiert f(z)=INFSUM c(k)*(z-a)^k fuer ein z1!=a, so konvergiert f(z) fuer alle z des Kreises in der komplexen Zahlenebene mit Radius (z1-a) und Mittelpunkt a -- und zwar gleichmaessig und absolut. Konvergenzradius: Der Konvergenzradius einer Potenzreihe INFSUM c(k)*(z-a)^k ist der Wert r:=sup{|z-a| | INFSUM c(k)*(z-a)^k konvergiert }. Limes und Integral: Konvergiert f(n) gleichmaessig gegen f und sind die f(i) stetig, so gilt: lim n->INF INTEGRAL a->b f(n)(x) dx = INTEGRAL a->b f(x) dx Ableitung einer Funktionenfolge: Ist (f(n):[a,b]->R)nEN eine Folge stetig differenzierbarer Funktionen mit Grenzwert f und konvergiert die Folge (f'(n))nEN der Ableitungen gleichmaessig, so konvergiert sie gegen f'. Ableitung der Potenzreihe: Hat f(x)=INFSUM c(k)*(x-a)^k den Konvergenzradius r, so ist f unendlich oft differenzierbar und fuer x aus dem Konvergenzkreis gilt: f'(x)= INFSUM c(k)*k*(x-a)^(k-1). Fuer die j-te Ableitung gilt damit: D^j(f)(x) = INFSUM k*(k-1)*(k-2)*...*(k-j+1)*c(k)*(x-a)^(k-j) Also: c(n) = D^n(f)(x) / n! Taylorsche Formel: Ist f:X->R (n+1)-mal stetig differenzierbar, so gilt fuer alle a,x aus X: f(x) = f(a) + f'(a)*(x-a) + f''(a)/2*(x-a)^2 + ... D^n(f)(a)/n!*(x-a)^n + R(n+1)(x) = (SUM k=0..n D^k(f)(a)/k!*(x-a)^k) + R(n+1)(x) R(n+1)(x) = INTEGRAL a->x (x-t)^n*D^(n+1)(f)(t) dt heisst das "Restglied der Ordnung n+1" und die anderen Summanden sind das "n-te Taylorpolynom von f um den Entwicklungpunkt a". Damit ist die Potenzreihe im Konvergenzkreis gleich der Taylorreihe. Lagrange-Restglied: Das Restglied einer Taylor-Formel laesst sich mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung auch ausdruecken als R(k)(x) = D^k(f)(s)/k!*(x-a)^k mit geeignetem s aus [a,x]. Waehlt man d(x) = (D^n(f)(s)-D^n(f)(x))/n!, so gilt: f(x) = (SUM k=0..n D^k(f)(a)/k!*(x-a)^k) + d(x)*(x-a)^n Abelscher Grenzwertsatz: Ist INFSUM c(k) konvergent, so konvergiert INFSUM c(k)*x^k fuer alle x aus [0,1]. Ausserdem ist diese Funktion stetig. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Formeln ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Summe der natuerlichen Zahlen: SUM k=1..n k = n*(n+1)/2 Summe der ungeraden Zahlen: SUM k=1..n (2*k-1) = n^2 Geometrische Summe: SUM k=0..n x^k = (1-x^(n+1)) / (1-x) Binomialkoeffizient: bin(n,k) = PROD j=1..k (n-j+1)/j Binomialkoeffizient: bin(n,k) = n! / k! / (n-k) Binomialkoeffizient: bin(n,k) = bin(n,n-k) Binomialkoeffizient: bin(n,k) = bin(n-1,k) + bin(n-1,k-1) Binomialkoeffizient ueber 0: bin(n,0) = 1 Falscher Binomialkoeffizient: bin(n,k) = 0, wenn n= |x|-|y| Bernoulli-Ungleichung: (1+x)^n >= 1+n*x lim n^-k = 0 fuer k>0 (All n: a(n) < b(n) ) => lim a(n)=2 INFSUM k^2/2^k ist konvergent Exponentialreihe: INFSUM0 z^k/k! ist konvergent Funktionalgleichung der Exponentialfunktion: exp(x+y)=exp(x)*exp(y) exp(z) = e^z = lim (1+z/n)^n = INFSUM0 z^k/k! lim x>a 1/(x-a) = INF lim x-INF p(x) = lim x->INF p(-x) lim x->INF f(x) = lim x->0 f(1/x) lim x->INF, x>0 log(x)/x^a = 0 fuer a > 0 lim x->INF, x>0 log(x)/x^a = INF fuer a =< 0 lim x->0, x>0 log(x)/x^a = -INF fuer a >= 0 lim x->0, x>0 log(x)/x^a = 0 fuer a < 0 Betrag einer komplexen Zahl: |x+y*i| = SQRT(x^2+y^2) = SQRT(z*~z) |~z| = |z| |Re(z)| =< |z| |Im(z)| =< |z| z + ~z = 2 * Re(z) z - ~z = 2*i*Im(z) |z*w|=|z|*|w| Eulerische Formel: exp(i*x) = cos(x) + i*sin(x) ~exp(z) = exp(~z) |exp(i*x)| = 1 fuer reelle Zahlen x Kreisgleichung: cos(x)^2+sin(x)^2 = 1 cos(x)=(exp(i*x)+exp(-i*x))/2 sin(x)=(exp(i*x)-exp(-i*x))/2 cos(x+y) = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y) sin(x+y) = cos(x)*sin(y) + sin(x)*cos(y) cos(x) = INFSUM (-1)^k*x^(2*k)/(2*k)! Restgliedabschaetzung cos: |cos(x) - INFSUM (-1)^k*x^(2*k)/(2*k)!| < x^(2*n)/(2*n)! sin(x) = INFSUM (-1)^k*x^(2*k+1)/(2*k+1)! Restgliedabschaetzung sin: |sin(x) - INFSUM (-1)^k*x^(2*k+1)/(2*k+1)! | < x^(2*n+1)/(2*n+1)! |sin(x)| =< |x| fuer |x|=< 2 |sin(x)-x| =< |x|^3/6 fuer |x| =< 4 lim x -> 0, x>0 sin(x)/x = 1 |cos(x)| =< 1 exp(i*pi/2)=i exp(i*4*k*pi/2) = 1 exp(i*4*(k+1)*pi/2) = i exp(i*4*(k+2)*pi/2) = -1 exp(i*4*(k+3)*pi/2) = -i cos(pi/2)=0 sin(pi/2)=1 exp(2*pi*i)=1 cos(x+pi)=-cos(x) cos(-x)=cos(x) cos(pi-x)=-cos(x) sin(x) = -sin(-x) tan(-x)=-tan(x) sin(x)=cos(pi/2-x) Tangentengleichung: g(x) = f(a) + f'(a)*(x-a) Sekantengleichung: g(x) = f(a) + (f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a) D(cos)=-sin D(sin)=cos D(abs)=sgn fuer alle x!=0 D(a*f + b*g)=a*D(f)+b*D(g) D(f*g) = f'*g+g'*f D(f/g)=(f'*g-f*g')/g^2 D(x^z)(x)=z*x^(z-1) fuer alle ganzen z ohne 0 D(tan)=1+tan^2 D(tan)=1/cos^2 D(f^-1)=1/(D(f) o f^-1) D(log(a*x))(x)=1/x D(arcsin)(x)=1/SQRT(1-x^2) D(arctan)(x)=1/(1+x^2) D(f O g)(x)=D(g)(x)*D(f)(g(x)) D(f(x*a))(x)=a*D(f)(a*x) D(f(a*log))(x)=a/x * D(f)(a*log(x)) D(exp(i*n*x))(x)=i*n*exp(i*n*x) (a+b*i)*exp(i*n*x) = (a*cos(n*x) - b*sin(n*x)) + (a*sin(n*x)+b*cos(n*x))*i a+b=1 => x^a+y^b =< a*x + b*x Hoeldersche Ungleichung: p>1,q>1, 1/p + 1/q = 1 => SUM i=1..n |z[i]*w[i]| =< ||z||p * ||w||q fuer z,w E C Hoeldersche Ungleichung fuer Integrale: p>1,q>1, 1/p + 1/q = 1, f,g aus R(X) => ||f*g||1 = INTEGRAL a->b |f(x)*g(x)| dx =< ||f||p * ||g||q Dreiecksungleichung fuer p-Norm: ||x+y||p =< ||x||+||y|| I(a*f+b*g) = a*I(f) + b*I(g) fuer zwei Funktionen f, g |I(f)| =< I(|f|) Cauchy-Schwarzsche Ungleichung: || =< ||f||2 * ||g||2 Minkowskische Ungleichung fuer Integrale: f,g aus R(X), p>1 => ||f+g||p =< ||f||p + ||g||p INTEGRAL a->b f(x)dx + INTEGRAL b->c f(x)dx = INTEGRAL a->c f(x)dx INTEGRAL a->b f(x) dx = F(b)-F(a) INTEGRAL a->b f(t+c) dt = INTEGRAL a+c->b+c f(x) dx INTEGRAL a->b f(t*c) dt = 1/c * INTEGRAL a*c->b*c f(x) dx INTEGRAL a->b t*f(t^2) dt = INTEGRAL a^2->b^2 f(x) dx INTEGRAL a->b f'(t)/f(t) dt = INTEGRAL f(a)->f(b) 1/x dx = log(f(b))-log(f(a)) INTEGRAL a->b tan(t) dt = -INTEGRAL a->b cos'(t)/cos(t) dx = INTEGRAL cos(a)->cos(b) 1/x dx = log(cos(b))-log(cos(a)) INTEGRAL a->b 1/(1-x^2) dt = 1/2 * INTEGRAL a->b 1/(1-x) + 1/(1+x) dx = 1/2 * INTEGRAL a->b 1/(1-x) dx + INTEGRAL a->b 1/(1+x) dx = 1/2 * (- INTEGRAL a->b (1-x)' * 1/(1-x) dx + INTEGRAL a->b (1+x)' * 1/(1+x) dx) = 1/2 * (- INTEGRAL (1-a)->(1-b) 1/x dx + INTEGRAL (1+a)->(1+b) 1/x dx) = 1/2 * log | (1+x)/(1-x) | INTEGRAL a->b cos(x)^2 dx = 1/2*(x+1/2*sin(2*x))|a->b Kreisscheibe: A = 4 * INTEGRAL 0->1 SQRT(1-x^2) dx = = 4 * INTEGRAL arcsin(0)->arcsin(1) SQRT(1-sin(x)^2)*sin'(x) dx = 4 * INTEGRAL 0->pi SQRT(cos(x)^2)*sin'(x) dx = 4 * INTEGRAL 0->pi cos(x)*cos(x) dx = 4 * (1/2*(x+1/2*sin(2*x)))|0->pi = pi INTEGRAL a->b 1/SQRT(1+x^2) dx = INTEGRAL arsinh(a)->arsinh(b) 1/SQRT(1+sinh(x)^2))*sinh(x)' dx = INTEGRAL arsinh(a)->arsinh(b) 1/cosh(x)*cosh(x) dx = INTEGRAL arsinh(a)->arsinh(b) 1 dx = arsinh(b)-arsinh(a) INTEGRAL a->b x^n dx = x^(1+n/(1+n)|a->b INTEGRAL a->b log(x) dx = INTEGRAL a->b 1*log(x) dx = x*(log(x)-1)|a->b INTEGRAL a->b x/(1+x^2) dx = 1/2*log(1+x^2)|a->b INTEGRAL a->b arcsin(x) dx = x*arcsin(x)+SQRT(1+x^2)|a->b INTEGRAL sin(x)^m d x= (-sin(x)^(m-1)*x*cos(x)+(m-1)* INTEGRAL sin(x)^(m-2))/m INTEGRAL sin(x)^0 dx = x , INTEGRAL sin(x)^1 dx = -cos(x) lim x->INF INTEGRAL a->b f(t)*sin(t*x)dt = 0 INTEGRAL 1->INF x^-a dx = 1/(a-1) fuer a>1 INTEGRAL 1->INF x^-a dx = INF fuer a<1 INTEGRAL 1->INF 1/x dx = INF INTEGRAL 0->1 x^-a dx = 1/(1-a) fuer a<1 INTEGRAL 0->1 x^-a dx = INF fuer a>1 INTEGRAL -INF->INF 1/(1+x^2) dx = pi INTEGRAL 0->INF x^(s-1)/(e^x-1)=G(s)*zeta(s) fuer alle s>1 log(1+x) = INFSUM (-1)^(n+1)*x^n/n auf ]0,1[