Zusammenfassung Lineare Algebra
               (c) 2000-12-11 Fabian M.Suchanek
     http://suchanek.name/texts/summaries/algebra.txt


Dieses ist eine Zusammenfassung der Vorlesung "Lineare Algebra", die
im Wintersemester 2000 von Prof. Winfried Bruns an der Universitaet
Osnabrueck gehalten wurde.

Durch das Weiterlesen akzeptiert der Leser, dass der Autor keinerlei
Verantwortung fuer die Richtigkeit oder Vollstaendigkeit dieser
Zusammenfassung uebernimmt. Wenn jemand einen Fehler gefunden hat, so
waere ich fuer eine Mail dankbar. Nur so habe auch ich etwas von der 
Veroeffentlichung dieser Zusammenfassung.

Meine E-Mail-Adresse ist f.m.suchanek@zweb.de, wobei das 'z' aus der
Adresse geloescht werden muss.


Induktion: Beweis von A(n) fuer alle natuerlichen Zahlen n>=n0
           Induktionsanfang: A gilt fuer n=n0
           Induktionsannahme: A gilt fuer n-1
           Induktionsschritt: Schluss von n-1 auf n
           Induktionsschluss: Damit gilt A fuer alle n

Binomialkoeffizient n ueber k:
 Anzahl der k-elementige Teilmengen einer n-elementigen Menge
 n ueber k = n! / ( k! * (n-k)! )

Mengen:
 M > N: M ist Obermenge von N, N ist Teilmenge von M
 M /\ N: Schnittmenge, nur die x, die gleichzeitig in M und N sind
 M U N: Vereinigung, beide Mengen zusammen genommen
 M \ N: Komplement von N in M, M ohne N
 |M|: Anzahl der Elemente von M
 M x N: kartesisches Produkt, Menge aller moeglichen Paare
 M + N: Menge aller Summen m + n

Abbildungen:
 Zuordnungsvorschrift f: Definitionsbereich D -> Wertebereich W
 f(x) heisst Bild von x unter f, gilt auch fuer Teilmengen von D
 f^-1(W')={x E D: f(x) E W'} ist das Urbild der Teilmenge W' unter f
 f|D':D' -> W  ist die Bechraenkung von f auf D'
 f ist injektiv, wenn fuer verschiedene x verschiedene f(x) rauskommen
 f ist surjektiv, wenn der gesamte Wertebereich von f getroffen wird
 f ist bijektiv, wenn es sowohl injektiv als auch surjektiv ist
 Die Komposition von f o g ist nicht kommutativ, aber assoziativ

Gruppen:
 Eine Verknuepfung auf einer Menge M ist eine Abbildung f: M x M -> M
 Eine Gruppe ist eine Menge<>0 mit einer Verknuepfung, sodass gilt:
 * Die Verknuepfung ist assoziativ
 * Sie besitzt ein neutrales Element e
 * Zu jedem Element existiert ein Inverses, sodass x+(-x)=e
 Eine Gruppe heisst abelsch, wenn die Verknuepfung auch kommutativ ist
 Eine Teilmenge U heisst Untergruppe, wenn
 * die Verknuepfung sich auf U einschraenken laesst und
 * U damit selbst eine Gruppe ist
 oder
 * U <> 0 und
 * mit x,y, E U auch x+(-y) E U

Koerper:
 Ein Koerper ist eine Menge K mit 2 Verknuepfungen, sodass gilt
 * (K,+) ist eine abelsche Gruppe
 * (K,*) ist eine abelsche Gruppe, nur e+ hat kein Inverses
 * Es gelten die Distributivgesetzte
 Die Charakteristik "char K" ist diejenige Zahl, fuer die n*1=0
 Eine Teilmenge L von K ist ein Teilkoerper von K, wenn
 * sich Addition und Multiplikation einschraenken lassen
 * L damit ein Koerper ist
 Dann heisst K Erweiterungskoerper von L
 Gelten alle Koerperbedingungen bis auf 1/x E K, so heisst K Ring

Polynome:
 Ein Polynom ist der Ausdruck p=a(n)*X^n+...a(1)*X+a(0)
 n ist der Grad von p, a(n) der Leitkoeffizient
 Ist a(n)=1, so ist p normiert
 Die Menge der Polynome ueber K, K[X], ist ein Ring
 grad(p*q)=grad(p)+grad(q), grad(p+q)<=max(grad(p), grad(q))
 Fuer f,g E K[X] ex. eind. q,r E K[X] mit f=q*g+r und grad(r)<=grad(g)
 Jedem Polynom p kann man eine polynomiale Funktion p(x) zuordnen
 x0 ist eine Nullstelle von p, wenn p(x0)=0
 Ist x0 Nullstelle, so gilt p=q*(X-x0)
 x0 hat die Vielfachheit e, wenn e die groesste Zahl mit p=q*(X-x0)^e
 Fuer die Vielfachheiten der Nullstllen gilt: e(1)+...e(m)<=grad(p)
 Brueche von Polynomen f/g bilden einen Koerper, K(X)

Komplexe Zahlen:
 (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)
 (x1,y1)*(x2,y2)=(x1*x2-y1*y2,x1*y2+y1*x2)
 Mit diesen Verknuepfungen ist C=R^2 ein Koerper
 e+=(0,0), e*=(1,0)
 -z=(-x,-y), z^-1=(x/(x^2+y^2),-y(x^2+y^2))
 i:=(0,1), 1:=(1,0), i^2=-1
 R ist ein Teilkoerper von C, z=x+y*i, x=Re(z), y=Im(z)
 Komplexe Konjugation: ~z=x-y*i
 Betrag von z: |z|=SQRT(z*~z)=SQRT(x^2+y^2)
 z*~z=x^2+y^2, ~(z+w)=~z+~w, ~(z*w)=~z*~w, z^-1=~z/|z|^2, z+~z=2*Re(z)
 z-~z=2*Im(z)*i, z E R <=> z=~z, ~~z=z
 |z*w|=|z|*|w|
 z=r*(cos(phi)+sin(phi)*i)=|z|*(Re(z)/|z|+Im(z)/|z|*i)
 z*w=|z|*|w|*(cos(phi+xi)+sin(phi+xi)*i)
 Es existieren n-1 "Wurzeln" einer komplexen Zahl z
 w^n=z <=> w(k)=r^(1/n)*(cos( (phi+2*k*pi)/n )+sin( (phi+2*k*pi)/n )*i)
 Quadratwurzel ziehen: Auf die Form (e+fi)^2=(a+bi) bringen, dann
  Realteil gleichsetzen und Imaginaerteil gleichsetzen.
 Die w mit w^n=1 heissen n-te Einheitswurzeln
 Diese w bilden gerade die Eckpunkte eines regulaeren n-Ecks
 Fundamentalsatz der Algebra: p=u*(X-z(1))^e(1)*...(X-z(m))^e(m)
  p E C[X],z(k) Nullstellen,e(k) Vielfachheiten,u Leitkoeffizient von p
 Ist z Nullstelle von p, so ist auch ~z Nullstelle von p
 p=u*(X-x(1))^e(1)*...(X-x(m))^e(m)*(X^2+v(1)*X+w(1))^s(1)*... ^s(r)
  wobei u Leitkoeffizient von p, X^2+v(k)*X+w(k)=(X-z(k))*(X-~z(k)),
  x(k) reelle Nullstellen, z(k) imaginaere Nullstellen

Vektorraeume:
 Ein Vektorraum ueber einem Koerper K ist eine Menge V mit
 * der Addition V x V -> V
 * der Sklalarmultiplikation K x V -> V
 wenn gilt
 * (V,+) ist eine abelsche Gruppe
 * fuer alle a,b E K und v,w E V ist
   * a(ab)=(ab)v
   * 1v=v
   * a(v+w)=av+aw
   * (a+b)v=av+bv
 Die nichtleere Teilmenge U von V heisst Untervektorraum, wenn
 * Fuer alle u,v E U auch u+v E U
 * Fuer alle u E U, a E K gilt: au E U
 w = a(1)v(1)+...a(n)v(n) heisst Linearkombination von v(1)..v(n)
 L(v(1),...) ist die Menge aller mit v(1),.. darstellbaren Vektoren
 Einheitsvektoren: e(i)=(0,...0,1,0,...) mit der 1 an i-ter Stelle
 K^n=L(e(1),...e(n))
 Die Vektorenmenge M ist Erzeugendensystem des UVR U, wenn gilt: U=L(M)
 Wenn U1,U2 < V, dann ist U1 /\ U2 UVR von V
 U1+U2 ist die Menge aller Summen von Vektoren u1 E U1 und u2 E U2
 U1,U2 komplementaer <=> U1+U2=V, U1 /\ U2 = {0}

Basen & Dimension:
 v(1),... linear abhaengig <=> a(1)v(1)+...=0, es ex. mind. ein a(k)<>0
 v(1),.. lin.unabh. <=> Koeffizienten von w E L(v(1),..) eind. bestimmt
 Lineares Gleichungssystem LGS sind Zeilen der Form a(1,1)x(1)+...=b(1)
 Ein LGS heisst homogen, wenn b(1)=...=0
 Jedes HLGS mit Unbestimmten>Gleichungen hat eine nichttriviale Loesung
 Fuer jedes n>m sind w(1),...w(n) E L(v(1),...v(m)) linear abhaengig
 Man kann in L(..) kein v(k) weglassen => v(1),... min. Erz.system
 Ein linear unabhaengiges Erzeugendensystem heisst Basis von V
 Hauptsatz der lin. Alg.: Jede Basis von V hat gleich viele Elemente
 Die Anzahl der Elemente der Basis von V heisst Dimension von V
 v(1),...v(n) maximal lin.unabh. <=> v(1),..,w lin.abh. fuer alle w E V
 Basis <=> minimales Erz.system <=> maximal linear unabhaengige v(k)
 Gelten 2 der folgenden Aussagen, so gilt die dritte:
 * m = dim(V)
 * v(1),.. v(m) erzeugt V
 * v(1),.. v(m) sind linear unabhaengig
 Basisergaenzungsssatz: w(1)..w(m) erzeugen V, v(1)..v(n) lin.unabh.
   => v(1)..v(n),w(1)..w(p) Basis von V, p = dim V - n
 Ist U UVR von V, so ist dim U <= dim V. dim U = dim V => U = V.
 dim(U1+U2)= dim U1 + dim U2 - dim(U1 /\ U2)

Elimination:
 m x n-Matrix:       y-Kreuz-x-Matrix, a(y,x)
  a(1,1)x(1)+...a(1,n)x(n)=b(1)
  ...
  a(m,1)x(1)+...a(m,n)x(n)=b(m)
 Bestimmung der Dimension von L(v(1),...v(m)):
 * v(k) waagerecht in Matrix eintragen
 * Matrix umformen bis zur Stufenform
 * Anzahl der Vektoren <> 0 ist Dimension, sie selbst sind eine Basis
 LGS in Matrix:
 * Koeffizienten in Matrix A schreiben, v[1],..v[n] Spaltenvektoren
 * Loesungsvektor sei b, das LGS ist damit (A,b)
 * Die Matrix A, ergaenzt um b ist (A|b)
 Loesung existiert,wenn b E L(v[1],...), d.h. L(v[1],...)=L(v[1],...,b)
 rang A = dim L(v[1],...v[n])
 Loesung existiert, wenn rang(A|b) = rang A
 Loesungsmenge S von (A|0) ist ein UVR von K^n. dim S = n - rang A.
 Sei s' eine Loesung von (A,b) und S0 die Loesungsmenge von (A,0)
   => s'+S0 = { s' + s0: s0 E S0 } ist Loesungsmenge von (A,b)
 Loesung eines LGS:









 S = { s'+ t*u(1)+...:t(1),...t(n-r) E K }
 In einer m x n Matrix gilt:
 * (A,b) hat mind. eine Loesung, wenn rang A = m
 * (A,b) hat hoechstens eine Loesung, wenn rang A = n
 * (A,b) hat genau eine Loesung, wenn rang A = m = n
 * dim L(v(1),...v(m)) = dim L(v[1],...v[n]) = rang A

Homomorphismen:
 Ein Homomorphismus ist eine Abbildung, die die Struktur respektiert
 Eine Abbildung f:V->W heisst Homomorphismus oder linear, wenn
 * f(v+w)=f(v)+f(w)
 * f(av)=af(v)
 f linear => f(av+bw+...)=af(v)+bf(w)+...
 f linear => f(0)=0
 f:K^n->V, f(a,b,...)=av+bw+... ist lineare Abb., f(Koeff)=Vektor
   Vektor av+bw+... ist Bild, (a,b,...) ist Urbild
   v,w,... Basis von V => f surjektiv, da fuer alle v v=f(...)
   v,w,... Basis von V => f injektiv, da Koeffizienten eindeutig
   v,w,... Basis von V => f bijektiv
 Eine bijektive lineare Abbildung ist ein Isomorphismus
 Gibt es einen Isomorphismus zwischen V und W, so sind sie isomorph
 Isomorph heisst strukturaehnlich
 Jeder K-Vektorraum der Dimension n ist zu K^n isomorph
 f:U->V, g:V->W linear => (f o g):U->W linear
 f:U->V, g:V->W Isomorphismen => f o g Isomorphismus
 f linear => f^-1 linear
 Kern(f)={x: f(x)=0}, die Nullstellen
 Bild(f)=f(V), die Menge der Ergebnisse
 f(v)=w => f^-1(w)= v+Kern(f) = Menge der Urbilder zu w
 f ist injektiv <=> Kern(f)={0}, Null hat als einziges Urbild die Null
 Lineare Abbildung f:K^n->K^m und Matritze m x n:
  Die Spalten i der Matrix sind die Koordinaten von f(basisvektor(i))
  bezueglich einer Basis von K^m
 Funktion f und ihre Matrix A bzgl. der kanonischen Basen:
 * Vektor x ist Loesung des LGS (A,b) <=> f(x)=b
 * (A,b) hat Loesg <=> b E Bild(f), b durch einen Vektor x darstellbar
 * Vektor x ist Loesung von (A,0) <=> f(x)=0 <=> x E Kern(f)
 dim Kern(f) + dim Bild(f)= dim V
 rang f = dim Bild(f), der Rang einer Abbildung ist die Dim. des Bildes
 Selbstabbildungen f:V->V heissen Endomorphismen von V
 Bijektive Endomorphismen heissen Automorphismen
 Automorphismen bilden bzgl. der Verknuepfung die Gruppe Aut V, GL(V)
 Ist f ein Endomorphismus, so sind aequivalent
 * f ist injektiv
 * f ist surjektiv
 * f ist bijektiv, d.h. f ist ein Automorphismus
 * dim Bild(f) = dim V, d.h. dim Kern(f)=0
 Die direkte Summe V (+) W ist die Menge V x W aus (v,w)-Paerchen
 Mit Paar-Addition und Skalarmultiplikation ist V (+) W ein Vektorraum
 dim V (+) W = dim V + dim W
 dim Bild f o g = dim f(Bild g) <= dim Bild g
 Die natuerlichen Einbettungen zu V(+)W sind
 * i1: V->V(+)W, i1(v)=(v,0)
 * i2: W->V(+)W, i2(w)=(0,w)  (injektiv)
 Die natuerlichen Projektionen zu V(+)W sind
 * p1: V(+)W->V, p1(v,w)=v
 * p2: V(+)W->W, p2(v,w)=w  (surjektiv)
 V=U1(+)U2, wenn U1+U2=V und U1/\U2={0}, also U1,U2 komplementaer
 f: U1(+)U2->V, f(u1,u2)=u1+u2 Isomorphismus <=> U1(+)U2=V
 f: G->H ist ein Gruppenhomomorphismus, wenn f(g1+g2)=f(g1)+f(g2)
 f: K->L ist ein Koerperhomomorphismus, wenn
 * f(k1+k2)=f(k1)+f(k2)
 * f(k1*k2)=f(k1)*f(k2)
 * f(1)=1
 Koerperhomomorphismen sind immer injektiv
 Der einzige Endomorphismus in R ist id
 Die Konjugation ist ein Automorphismus in C
    normal    bijektiv
 f: V->W  Homomorphismus  Isomorphismus
 f: V->V  Endomorphismus  Automorphismus
 Die linearen Abbildungen bilden einen UVR von Abb(V,W): Hom(V,W)

Matrizenrechnung:
 v(1),...v(n) Basis, v=av(1)+...: (a,b,...) Koordinatenvektor von v
 Ein f(v) ist durch Angabe von f(v(i)) eind. bestimmt, wenn v(i) Basis
 f: V->W, f(av(1)+bv(2)+..zv(n))=aw(1)+bw(2)..zw(n), also f(v(i))=w(i)
 * w(i) linear unabhaengig <=> f injektiv
 * w(i) Erzeugendensystem von W <=> f surjektiv
 * w(i) Basis von W <=> f bijektiv
 Eine Abbildung wird durch eine m x n Matrix beschrieben, sodass
    f(v(x))=SUM(a(y,x)w(y)) mit y=1..m, also
    Spaltenvektor(i) ist der Koordinatenvektor von f(v(i)) bzgl. w
 Ist Matrix(f)=A bzgl. der kanonischen Basen, so ist f(v)=A*v
?Ist Matrix(f)=A, Basis B im DefBer., so f(v)=A*v, v umgerechnet auf B
?Ist Matrix(f)=A, Basis B im BildBer.,so f(v)= A*v umgerechnetvon B
 Die m x n Matrizen bilden einen Vektorraum, M(m,n)
 M:Hom(V,W)->M(m,n) ordnet jedem f sein A zu, ist bijektiv
 Produkt zweier Matrizen:
 * A=(a(j,k)) n x p Matrix, also j=1..n, k=1..p
 * B=(b(i,j)) m x n Matrix, also i=1..m, j=1..n
 * Produkt ist m x p Matrix C=(c(i,k))=SUM(b(i,j)a(j,k)) mit j=1..n
 (in A i-te Zeile durchlaufen, in B k-te Spalte, Produkte aufaddieren)
 C=BA <> AB, Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ
 AB ist die Matrix von f o g, wenn Matrix(f)=A und Matrix(g)=B
 "Die Matrix von f" ist die Matrix von f bzgl. der kanonischen Basen
 "Die Abb. von A" ist die Abbildung von A bzgl. der kanonischen Basen
 n x n I(n) mit nur 0, dann 1 in der Diagonale heisst "Einheitsmatrix"
 Produktregeln fuer A&B n x p, C&D m x n, E k x m:
 * I(n)A=AI(p)=A
 * E(CA)=(EC)A
 * (C+D)A=CA+DA, C(A+B)=CA+CB
  Beweis: Rueckfuehrung auf die aequivalenten Abbildungen
 Ist f Abbildung von A, so ist die Matrix von f^-1 das Inverse von A
 Ist A n x n Matrix, dann sind aequivalent
 * f ist ein Automorphismus
 * rang A = n
 * es existiert eine n x n Matrix A^-1 mit AA^-1=A^-1A=I(n) (Inverses)
 Will man AB=I(n) loesen (B=A^-1), so erfuellen die Spalten j von B
   (A,e(j)) ---> simultan arbeiten: (A,I(n)) loesen, B ist rechte Seite

Determinanten:
 Die Determinante eines 2-2-LGS (ax+by=u,cx+dy=v) ist ad-bc
 Die Det. eines 3-3-LGS ist die Summe aller Diagonalprodukte, "\"-"/"
 A(i) ist diejenige (n-1)x(n-1) Matrix, die durch Streichen der
   ersten Spalte und der i-ten Zeile von A entsteht
 det A = a, wenn n=1 und damit A=(a)
 det A = SUM( (-1)^(i+1)*a(i,1)*det A(i) ) fuer i=1..n, wenn n>1
  det A = a(1,1)*det A(1) - a(2,1)*det A(2) + a(3,1)*det A(3)...
 det A=SUM( (-1)^(p+q)*a(p,q)*det A(p,q) ) fuer p=1..n (Spaltenentw.)
 det A=SUM( (-1)^(p+q)*a(p,q)*det A(p,q) ) fuer q=1..n (Zeilenentw.)
 det ist linear in jeder Zeile: det(u,v+v',w)=det(u,v,w)+det(u,v',w)
   det(u,av,w)=a*det(u,v,w), v,v,w Zeilenvektoren der Matrix
 det ist auch linear in jeder Spalte
 det I(n)=1
 Ist einer der Zeilen der Matrix der Nullvektor, so ist det(A)=0
 Stimmen 2 Zeilen der Matrix ueberein, so ist det(A)=0
 det A<>0 <=> rang A=n
 Bei Vertauschung zweier Zeilen wechselt det das Vorzeichen
 det aendert sich nicht bei elementaren Zeilenumformungen (vneu=v+aw)
 Ist A eine obere Dreiecksmatrix, so ist det A das \-Diagonalprodukt
 Eine Funktion d:M(n,n)->K ist eine Determinantenfunktion, wenn gilt
 * d ist linear in jeder Zeile
 * wenn A zwei gleiche Zeilen besitzt, ist d(A)=0
 d(A)=det A*d(I(n)) fuer alle Determinantenfunktionen d
 AT ist die Transponierte der Matrix A (an der \-Diagonalen gespiegelt)
 det AT = det A
 det AB = (det A)*(det B)
 det A^-1=(det A)^-1  (A invertierbar <=> rang A=n <=> det A <>0)
 A^-1 = B/det A, wobei b(i,j)=(-1)^(i+j)*det A(j,i)
 Cramersche Regel: x(i)=det B(i)/det A, i=1..n  sind alle Loesungen
   eines LGS (A,b), wobei: B(i)=A, i-te Spalte durch b ersetzt
 Jede Permutation p hat einen Endomorphismus f: f(e(i))=e(p(i))
 Jede Permutation p hat eine Matrix: I(n) so permutiert, wie p angibt
 Das Signum einer Permutation p ist d(p)=det A, wenn A p's Matrix ist
 Das Signum einer Permutation ist entweder -1 oder 1
 Fuer alle Permutationen p und r ist d(p o r)=d(p)*d(r)
 Eine Transposition ist eine Permutation, die nur 2 Elemente vertauscht
 Fuer jede Transposition t ist d(t)=-1
 Jede Permutation ist eine Kombination von Transpositionen
 Eine Permutation p mit d(p)=1 heisst gerade, eine mit d(p)=-1 ungerade

Skalarprodukte:
 Eine Abbildung s:V x V -> K heisst Sesquilinearform (SLF), wenn gilt:
 * sie ist in der 1. Komponente linear
 * sie ist in der 2. Komponente linear, nur s(v,aw)=~as(v,w)
 Eine SLF s heisst hermitesch (HSLF), wenn s(v,w)=~s(w,v)
 Ist s:R x R->R, so heisst s Bilinearform
 Eine Bilinearform ist "symmetrisch": s(v,w)=s(w,v)
 Eine HSLF heisst positiv definit (Skalarprodukt), wenn s(v,v)>0
 Eine HSLF heisst positiv/negativ [semi]definit, wenn s(v,v)>/<[=]0
 StdSkalarprodukt in R: s(v,w)=SUM(v(i)*w(i))
 StdSkalarprodukt in C: s(v,w)=SUM(v(i)*~w(i))
 Ist s eine HSLF, so ist Q(v)=s(v,v) ihre quadratische Form
 Stimmen von zwei HSLF die quadratischen Formen ueberein, so sind sie =
 b Basis => s(v,w) = s(SUM(vi*bi),SUM(wj*bj)) = SUM(vi*SUM(wj*s(bi,bj))
      n x n Matrix aus s(b(i),b(j)) heisst Gramsche Matrix G bzgl. b
 s(v,w) = (v(1),...)*G*(w(1),...), die w(i) senkrecht geschrieben
 Matrix U des Uebergangs von Basis1->Basis2: Spalte(i)=b1(i) bzgl. b2
   Oben rein: Koordv. bzgl. Basis1; Rechts raus: Koordv. bzgl. Basis2
   U*(Koordv bzgl. Basis1 senkrecht)=(Koordv bzgl. Basis2 senkrecht)
   (Koordv bzgl. Basis1 waagerecht)*UT=(Koordv. bzgl. Basis2 waager.)
 G fuer neue Basen: Gneu=UT*G*~U  (U Uebergangsmatrix neu->alt (!))
 A und B heissen kongruent, wenn es M gibt, sodass B=MT*A*~M
 A und B kongruent <=> dieselbe SLF mit unterschiedl. Basen
 Eine Matrix heisst hermitesch, wenn AT=~A, also s hermitesch
 Eine Matrix heisst symmetrisch, wenn AT=A, also s symmetrisch
 Eine Matrix heisst positiv/negativ [semi]definit, wenn s(v,v)>/<[=]0
 Eine Matrix ist positiv definit, wenn det Aixi > 0 fuer i=1..n
 v und w heissen orthogonal, wenn s(v,w)=0
 SX={v E V: v senkrecht auf w fuer alle w E S}. SX ist UVR von V
 R^n mit Skalarprodukt heisst euklidischer, C^n unitaerer Vektorraum
 Eine Basis mit s(v(i),v(j))=0 fuer alle i<>j heisst Orthogonalbasis
 Orthonormalbasis (ONB): Orthogonalbasis mit s(v(i),v(i))=1 fuer alle i
 Konstruktion einer Orthonormalbasis w1,... zu einer Basis v1,...:
  w1=s(v1,v1)^-0.5*v1; wj'=vj-s(vj,w1)*w1-...-s(vj,w(j-1))*w(j-1)
  wj=s(wj',wj')^-0.5*wj'
 V = U (+) UX, U = (UX)X, U1 < U2 <=> U2X < U1X <=> U1=U2
 v(1).. ONB von U, w(1).. ONB von UX => v(1)..,w(1).. ONB von V
 Orthogonale Projektion auf U: pU:V->U, Kern pU=UX, pU(u)=u fuer u E U
 pU(v)=s(v,w1)*w1+...+s(v,wr)*wr wenn w1..wr ONB von U, ist linear
 Norm von v, Laenge von v: ||v||:=SQRT(s(v,v))
 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung: |s(v,w)| < ||v||*||w||
 ||v||>=0, ||v||=0 <=> v=0
 ||rv||=|r|*||v|| fuer alle r E K und v E V
 ||v+w|| <= ||v||+||w|| (Dreiecksungleichung)
 Der Abstand von v und w ist d(v,w):=||v-w||
 d(v,w)>=0; d(v,w)=0 <=> v=w; d(v,w)=d(w,v)
 d(v,w)<=d(v,u)+d(u,w)  (Dreiecksungleicung)
 d(v+u,w+u)=d(v,w)  (Translationsinvarianz)
 d(rv,rw)=|r|*d(v,w)  (Homogenitaet)
 Ist p:V->U orth. Projektion, so ist d(v,u)>d(v,p(v)) (min. Abstand)
 Eine lin. Abb. heisst Isometrie, wenn gilt: d(f(v),f(w))=d(v,w)
 Wenn V,W euklidische VR und f:V->W eine lin. Abb., so sind aequivalent
 * f ist eine Isometrie (abstandsgetreue Abbildung)
 * fuer alle v E V ist ||f(v)||=||v||
 * fuer alle v,w E V ist s(v,w)=s(f(v),f(w))
 Sind f und g Isometrien, so sind es auch f o g und f^-1
 Kongruenzabbildungen g sind fast Isometrien: g(v)=f(v)+g(0), f Isom.
 Ist V ein euklidischer VR und v(1)..v(n) eine ONB, so sind aequivalent
 * f ist eine Isometrie
 * f(v(1)),..f(v(n)) bilden eine ONB
 * Fuer Matrix A von f bzgl. v(1),..v(n) gilt: AT*~A=I(n)=A*~AT (Inv.!)
 Fuer nxn-Matritzen A ueber K ist aequivalent:
 * A heisst orthogonal (wenn K=R) bzw. unitaer (wenn K=C)
 * AT*~A=I(n), also A hat Rang n und A^-1=~AT
 * Die Spalten bilden eine ONB von K^n bzgl. des StdSkalarprodukts
 * Alles obige gilt auch fuer AT (insbesondere AT^-1=~A)
 Fuer jede unitaere Matrix A ist det A=+1 oder det A=-1
 Die unitaeren Matritzen bilden eine Untergruppe der invbaren Matritzen
 winkel(v,w)=arccos(s(v,w)/(||v||*||w||))

Das Normalformenproblem fuer Endomorphismen:
 Die Gramsche Matrix bei Orthogonalbasen ist eine Diagonalmatrix
 Es existieren Basen w(1),..w(m) von W und v(1),..v(n) von V, sodass
  die Matrix einer lin.Abb. f:V->W I(r) ist, r=Rang f, Rest Nullen